Categoría: Matemáticas

• 1.- Queremos saber las medidas de los lados de una tabla rectangular, pero lo único que sabemos es que tiene un área de 91 cm² y uno de sus lados tiene 6cm más que el otro.

Planteamiento algebraico del problema:

• Lado pequeño = x
• Lado grande = x + 6

Si el valor del área = 91cm2 tenemos por la formula del área que:

          x * (x+6) = 91

Desarrollando la multiplicación y despejando tenemos que:

          x² + 6x – 91 = 0

Utilizando la formula general para resolver esta ecuación de 2do grado, tenemos que:

Como no podemos tener un lado con valor negativo, descartamos ese resultado y consideramos solo el valor 7. Por lo que tenemos:

Lado pequeño = 7cm

Lado grande: 7 + 6 = 13 cm

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Métodos para resolver ecuaciones de 2do grado:

La resolución de ecuaciones de segundo grado es el cálculo que se realiza para encontrar el valor aritmético de la variable (incógnita) que satisfaga la igualdad.

También se dice que se encuentran las “raíces” de la ecuación.

Los métodos para resolver las ecuaciones de segundo grado son:

• Por la formula general:

• Por factorización

• Completando trinomio cuadrado perfecto

Antes de resolver una ecuación podemos saber si la ecuación tiene alguna solución, aplicando unos discriminantes a sus coeficientes.

• 1.- Si b2 – 4ac = 0, la ecuación tiene solución

• 2.-Si b2 – 4ac < 0, las raíces son imaginarias

• 3.-Si b2 – 4ac > 0, las raíces son reales.

La fórmula general para resolver ecuaciones de 2do grado

Procedimiento:

1. Se sustituyen los coeficientes indicados
2. Se obtienen 2 valores, uno aplicando el signo positivo al radical y otro valor cuando se aplica el signo negativo al mismo radical.

OJO:

Si algún coeficiente no existe en la ecuación de segundo grado, quiere decir que su valor es igual a cero.

Ejemplos:

• 1.- Resolver la ecuación:

          Los valores a sustituir son:

          Sustituyendo tenemos:

          Las raíces o soluciones son:

Segundo método para resolver ecuaciones de 2do grado: Por factorización y despeje

Procedimiento:

1. Se factoriza la ecuación a resolver
2. Cada factor se igual a cero
3. Se despeja el valor de la incógnita de cada factor

Ejemplo:

• 1.- Obtener las raíces de:

          Factorizamos:

          Igualamos a cero y despejamos la incógnita:

Tercer método para resolver ecuaciones de 2do grado: Completando el trinomio al cuadrado perfecto

Procedimiento:

1. Con la ecuación inicial trata de completar un trinomio al cuadrado perfecto
2. Para después factorizarlo en un binomio al cuadrado
3. Y por último despejar la variable y obtener su valor.

Ejemplos:

• 1.- Encontrar las raíces de:

Se completa el trinomio al cuadrado perfecto:

Se forma el binomio al cuadrado:

Se despeja la incógnita:

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Las ecuaciones de 2do grado tienen la forma ax² + bx + c = 0

donde: a, b y c son constantes y números reales y “a” es diferente de cero.

Se pueden clasificar las ecuaciones de 2do grado en completas e incompletas.

• Completas son del tipo:           

 ax² + bx + c = 0

• Incompletas son del tipo:         

ax² + bx = 0   o    ax² + c = 0

Para resolver ecuaciones de 2do grado se utiliza alguno de los siguientes métodos:

1. Método por la formula general
2. Método por factorización
3. Método completando el trinomio al cuadrado perfecto

Estos métodos se estudiarán a detalle en los próximos temas.

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Las ecuaciones de segundo grado son aquellas donde el exponente de alguna de sus literales es igual a 2.

Ejemplos:

• x = y²
• y = x² + x + 15

Nota:

En próximo tema se estudia la resolución de las ecuaciones de segundo grado como lo marca la guía oficial.

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• Encuentra el valor de dos cantidades de tal manera que su suma es 15 y su diferencia es igual a 1.

Expresar el problema en términos algebraicos

• x + y = 15
• x – y = 1

Escoge el método de resolución de sistema de dos ecuaciones lineales.

Método de reducción:

• La suma de las edades de Julia y Ale es de 58 años, pero Ale es 2 años mayor que Julia. ¿Qué edad tiene Julia?

Expresar el problema en términos algebraicos

• x + y = 58
• x = y + 2

Escoge el método de resolución de sistema de dos ecuaciones lineales.

Como consideramos que “x” es Ale y “y” es Julia, Julia tiene 28 años.

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Nota: Este tema la solución algebraica puede ser cualquiera de los 3 métodos vistos en el tema anterior. Es este tema usaremos el método de despeje.

Para resolver una ecuación con 2 incógnitas podemos hacerlo por 2 tipos de soluciones:

1. La solución algebraica consiste en despejar una variable para que se exprese en términos de la otra (Método de Despeje).
2. La solución grafica consiste en graficar los puntos coordinados que nos de la ecuación, ya que una de las dos variables es considerada la variable independiente, que regularmente es la “x” y la otra es llamada la variable dependiente, que regularmente es la “y”.

Procedimiento para resolver algebraica y gráficamente las ecuaciones de 1er grado con 2 variables:

1.- Despeja la variable

          Si es una ecuación de 1 variable, debes encontrar el valor numérico de la variable.

          Si es una ecuación de 2 variables, te deben indicar la variable que debe quedar en términos de la otra, aunque por lo general, su las variables son “x” y “y”, la “y” debe quedar despejada.

Ejemplos:

• y – x = 0
• y + 5x = 0

Despejando cada una, tenemos:

• y = x
• y = -5x

Obtenemos varios puntos coordinados para trazar nuestra recta.

En nuestro segundo ejemplo, cada valor que le demos a nuestra “x”, la otra variable “y”, tendrá el mismo valor.

En nuestro último ejemplo, a cada valor que le demos a nuestra variable, lo multiplicamos por -5.

Graficar nuestros valores:

Trazar una línea recta que pase por los puntos identificados:

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La resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es “encontrar el valor de las dos incógnitas que cuando se sustituyan en las dos ecuaciones satisfagan la igualdad”.

Para resolver este tipo de sistemas se tienen tres métodos principales:

1. Método de reducción.
2. Método de sustitución.
3. Método de igualación.

Objetivo general de los 3 métodos:

El objetivo de los tres métodos es “convertir” nuestro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en “1 ecuación con 1 incógnita”.

Y para lograr esto, se puede hacer a través de diferentes operaciones que son los métodos.

MÉTODO DE REDUCCIÓN O DE SUMA Y RESTA

Procedimiento del método de reducción:

1. Se acomodan las ecuaciones en forma vertical, de tal manera que la misma variable quede alineada.

• Se suman o se restan los términos alineados verticalmente para que podamos eliminar alguna de nuestras incógnitas.

• Si no se puede eliminar alguna variable, se multiplica alguna ecuación o las dos, para que haya un variable con el mismo coeficiente y de signo diferente, para que cuando sumemos se pueda eliminar esa variable.

• El resultado de los pasos anteriores nos tiene que dar “una ecuación con una incógnita”.

• Resolvemos esta última ecuación. (despejando la variable).

• Después de tener el valor de una variable, la podemos sustituir en cualquier de las dos primeras ecuaciones de nuestro sistema para obtener el valor de la otra variable.

Ejemplo:

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Procedimiento del método de sustitución:

1. Se acomodan las ecuaciones en forma vertical, de tal manera que la misma variable quede alineada.

• Despejamos alguna de las dos variables en alguna de las dos ecuaciones. Es decir, una incógnita estará en términos de la otra.

• Sustituimos esta variable despejada en la otra ecuación del sistema.

• El resultado de los pasos anteriores nos tiene que dar “una ecuación con una incógnita”.

• Reducimos términos semejantes.

• Resolvemos esta última ecuación. (despejando la variable).

• Después de tener el valor de una variable, la sustituimos en la ecuación que despejamos al principio para obtener el valor de la otra variable.

Ejemplo:

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Procedimiento del método de igualación:

1. Se acomodan las ecuaciones en forma vertical, de tal manera que la misma variable quede alineada.

• Despejamos alguna de las dos variables en las dos ecuaciones. Es decir, una incógnita estará en términos de la otra en las dos ecuaciones.

• Igualamos estas dos ecuaciones, para obtener una ecuación de 1 incógnita.

• Despejamos esta incógnita y obtenemos su valor.

• Sustituimos el valor de esta incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales para obtener el valor de la otra variable.

Ejemplo:

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Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de ecuaciones de grado 1 y con las mismas dos incógnitas en las dos ecuaciones.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas representa un problema donde se busca encontrar el valor de dos cantidades que resuelven dos situaciones diferentes.

Ejemplo:

En tu fiesta de cumpleaños, tú quieres repartir dos chocolates a las niñas y 5 dulces a los niños, y 1 rebanada de pastel a las niñas y 3 gelatinas a los niños. Como tú ya compraste los chocolates, los dulces, el pastel y las gelatinas, quieres saber a cuantas niñas y cuantos niños invitas para que no te sobre nada.

Este tipo de problemas son los que se plantean con un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, y el problema a resolver es “encontrar el valor de las incógnitas” que resuelvan las dos situaciones (ecuaciones). Lo cual se verá en el siguiente tema.

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1. Luis compro 15 lápices y pagó con un billete de 100 pesos. Si le regresaron 25 pesos de cambio, ¿cuento costo cada lápiz?

Solución:

Plantea el problema en términos algebraicos:

100 – 15x = 15

Despeja la variable x, que representa el costo de cada lápiz.

x=  (100 -25)/15=  85/15=5

Cada lápiz cuesta 5 pesos.

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• Ana hizo tres compras de azúcar; primero compro un kilo y medio, después compro tres kilos y al final solo compro medio kilo. Si tuvo que pagar 160 por todo, ¿Cuánto le costó cada kilo de azúcar?

Solución:

Plantea el problema en términos algebraicos:

1.5x + 3x + .5x = 175

Reducimos términos semejantes:

5x = 175

Despejamos x, que representa el valor de cada kilo de azúcar:

x=  175/5=35

Conclusión:

Cada kilo de azúcar le costó 35 pesos.

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Ahora que ya conoces bien las ecuaciones de primer grado como las estudiamos en los capítulos anteriores, debes conocer que:

“Las ecuaciones de primer grado pueden ser representadas gráficamente”.

Es decir, si ocupamos el plano cartesiano con sus dos ejes, podemos trazar una línea recta con los valores que nos puede dar una ecuación de primer grado.

Tipos de soluciones graficas en las ecuaciones de primer grado

Las soluciones graficas se pueden agrupar según el tipo de ecuación.

1. Las ecuaciones de 1er grado con 1 variable siempre son líneas horizontales al eje “x”.
2. Las ecuaciones de 1er grado con 2 variables son líneas rectas con algún tipo de inclinación y que atraviesan al eje “x” en algún punto.

Procedimiento para resolver gráficamente las ecuaciones de 1er grado:

1.- Despeja la variable

          Si es una ecuación de 1 variable, debes encontrar el valor numérico de la variable.

          Si es una ecuación de 2 variables, te deben indicar la variable que debe quedar en términos de la otra, aunque por lo general, su las variables son “x” y “y”, la “y” debe quedar despejada.

Ejemplos:

• x – 5 = 0
• y – x = 0
• y + 5x = 0

Despejando cada una, tenemos:

• x = 5
• y = x
• y = -5x

Obtenemos varios puntos coordinados para trazar nuestra recta.

En nuestra primera ecuación, tenemos que para cualquier valor que le demos a nuestra “x”, siempre será igual a 5: Entonces tenemos que:

En nuestro segundo ejemplo, cada valor que le demos a nuestra “x”, la otra variable “y”, tendrá el mismo valor.

En nuestro último ejemplo, a cada valor que le demos a nuestra variable, lo multiplicamos por -5.

Graficar nuestros valores

Trazar una línea recta que pase por los puntos identificados

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