Categoría: Matemáticas

Conceptos iniciales:

Frecuencia

La frecuencia en estadista es la propiedad que tiene un dato de repetirse una cantidad de veces dentro de un conjunto de datos.

Existen dos tipos de frecuencia; la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa.

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta es simplemente el número de veces que se repite un dato entre todos los datos que tenemos.

Por ejemplo:

• En este conjunto de datos [4,3,5,3,4,7,6], la frecuencia absoluta del número 3 es igual a 2, porque el 3 aparece dos veces.

Frecuencia relativa

La frecuencia relativa es el número de veces que se repite un dato entre el número total de datos.

Por ejemplo:

• En el mismo conjunto de datos [4,3,5,3,4,7,6], la frecuencia relativa del número 3 es igual a 0.28, porque se divide el 2 (veces que se repite el 3) entre 5 que es la cantidad de números que hay en el conjunto.

La frecuencia relativa nos ayuda a comparar fácilmente las frecuencias de los distintos datos que tenemos.

En ocasiones la frecuencia relativa se presenta en porcentaje, por lo que solo se multiplica por 100.

Ejemplo:

Conjunto total de datos:

Frecuencias absolutas:

Frecuencias relativas:

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• 1.- El director de tu escuela quiere construir unas canchas deportivas, para decidir que tipo de canchas, realiza una encuesta a los 800 estudiantes de tu escuela sobre que deporte practican.

Construye una gráfica de barras para que tu director vea los deportes más practicados.

Los resultados de esta encuesta son:

Representación gráfica:

Tomamos el eje “x” que representa a las diferentes actividades deportivas y al eje “y” como representante de la magnitud de la frecuencia de cada actividad deportiva y obtenemos:

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Las gráficas de barras y circulares son la graficas que nos ayudan a expresar visualmente ciertas propiedades de un conjunto de datos.

Gráfica de barras

La grafica de barras es la gráfica que representa la magnitud de un subconjunto de valores a través de barras rectangulares.

La grafica de barras está constituida por 2 ejes

• El eje “x” horizontal

En este eje se acostumbre a representar a los subconjuntos de valores. Por ejemplo, los niños de 5 a 10 años, los niños de 11 a 15 años y los niños de 16 a 18 años.

• El eje “y” vertical

En este eje se acostumbre a representar la magnitud de la variable medida en los subconjuntos de datos. Por ejemplo, la estatura promedio de los niños de 5 a 10 años es de 1metro, la estatura promedio de los niños de 11 a 15 años, es de 1.40 metros, y la estatura promedio de los niños de 16 a 18 años es de 1.65 metros.

Procedimiento para crear una gráfica de barras:

1. Registra los datos a graficar en una tabla. Por un lado, estarán los periodos o regiones donde variarán los datos y en el otro lado, estarán los datos registrados.
2. La grafica de barras puede ser horizontal o vertical, por lo que se tiene que escoger cual será el eje de los periodos o regiones y cuál será el otro eje de las variaciones de los datos.
3. El eje donde se registrarán los periodos o regiones se divide en segmentos del mismo tamaño. Cada segmento representará un periodo o una región.
4. La barra que se formará es un rectángulo que tiene como medidas, la base es igual al tamaño del segmento del eje anterior, y la altura es igual al valor o el número de valores que se dan en ese periodo.

Gráfica circular

La grafica circular se representa a través de la división de un círculo. Donde cada división representa una proporción de los datos que vamos a analizar.

Procedimiento para realizar una gráfica circular:

1.- Coloca los datos en una tabla.

2.- Dibuja el circulo que vas a utilizar en tu grafica.

El circulo completo representa el 100% de los datos a analizar. Esto quiere decir que los 360 grados en los que está dividido el circulo representan el 100% de los datos.

3.- Obtén los porcentajes que representa cada cantidad de tus datos.

Recuerda que para obtener estos porcentajes se divide el valor de la variable entre el total y se multiplica por 100.

4.- Obtén los grados que representa cada cantidad de tus datos.

Para obtener los datos de cada periodo recuerda realizar una regla de tres.

Se despeja la “x” y se obtienen los grados de cada mes.

5.- Con tu transportador mides divides el circulo con los ángulos de cada mes de manera consecutiva para obtener los sectores (las rebanadas de pizza).

Cada sector representa un periodo o región de los datos y el tamaño del sector es la cantidad de datos que se repiten en ese periodo.

Como podrás ver, existen sectores más gruesos que otros, que son los meses donde hay más cumpleaños.

Ejemplo:

Queremos saber que meses del año hay más fiestas de cumpleaños en nuestro salón de clases. Después de hacer un censo con nuestros 50 compañeros, tenemos los siguientes datos:

Expresando estos datos en una gráfica de barras, obtenemos:

Con esto podemos ver fácilmente que los meses de julio y agosto tendremos más fiestas de cumpleaños. (desgraciadamente en esos meses estamos de vacaciones).

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Existen infinidad de gráficos para representar la información de frecuencia, sin embargo, las más comunes son:

• Grafica de barras
• Grafica circular
• Grafica poligonal
• Histograma

El objetivo de los gráficos es representar visualmente las frecuencias de nuestros datos. Es decir, que a simple vista podamos apreciar las propiedades de nuestros datos.

A continuación, presentamos los diferentes tipos de graficas de manera general, y los siguientes temas estudiaremos las gráficas de barras y la circular, como lo marca el temario oficial.

Tipos de graficas para representar frecuencias

Diferentes tipos de grafica de barras

Diferentes tipos de graficas circulares

Diferentes tipos de graficas poligonales

Diferentes tipos de histogramas

Otros tipos de graficas para representar frecuencias

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Organización de los datos

Para poder estudiar las frecuencias de nuestros datos, estas se organizan en tablas:

Tablas de frecuencias:

Las tablas de frecuencias son un ordenamiento de los datos a través de columnas.

La primera columna se acostumbra a colocar en orden creciente el número del dato.

La segunda columna se coloca el valor de ese dato.

Y las demás columnas se colocan las frecuencias que se quieren estudiar, regularmente primero se coloca la frecuencia absoluta, después la relativa y por último las demás tipos de frecuencias.

Nota:

También en algunas tablas de frecuencias se acostumbra a omitir la primera columna que enumera los datos.

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La frecuencia es la magnitud con la que se repite un dato en un conjunto de datos.

Esta frecuencia se puede expresar en diferentes formas:

• Frecuencia absoluta
• Frecuencia relativa
• Otros tipos de frecuencia

En los siguientes temas se estudia cada la frecuencia absoluta y la relativa como lo marca el temario.

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Índices

Los índices o también llamados números índices son un tipo de medidas estadísticas que expresan los cambios que se producen en una variable con respecto al tiempo o al espacio.

También podemos decir que los índices nos ayudan a comparar la magnitud de una variable en dos momentos diferentes.

Ejemplos:

• Si queremos comparar nuestra estatura de cuando teníamos 10 años a la estatura que tenemos ahora.
• Si queremos comparar los precios de las manzanas, ocupamos el llamado índice de precios, que nos ayuda a comparar los cambios que ha tenido el precio del kilo de manzana en los diferentes años.

Los índices se obtienen de la división entre un valor de la variable y otro valor determinado como base y generalmente se expresan en porcentaje.

Ejemplos:

Las ventas anuales de una empresa. En el año 1 la empresa vendió 10 millones, en el segundo año se vendió 15 millones y en el tercer año se tuvieron ventas por 17 millones.

Utilizamos como año base el año 1, por lo tanto, dividimos las ventas de cada año entre 10.

Como te darás cuenta, los índices en este ejemplo nos ayudan a ver los incrementos que ha habido con respecto al año 1. Esto nos puede decir que nuestra empresa va por buen camino.

Nota:

También podemos ver a los índices como un tipo de razón entre el valor actual y el valor base de un producto. El tema de razones se vio en “razones y proporciones” en la sección de aritmética.

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Elementos de la información estadística

Los elementos de la información estadística son:

Población:

La población en estadística es el conjunto total de entidades u objetos que se van a estudiar:

Ejemplos:

1. Todos los habitantes de un país.
2. Todos los productos de una empresa.
3. El clima de una región durante la temporada de verano.

Muestra:

La muestra en estadística es un subconjunto de entidades de la población. Es decir, es una pequeña parte del conjunto total (población).

Ejemplos:

1. 5,000 mil ciudadanos de un país.
2. Los productos de una empresa producidos entre las 3 y las 5 de la tarde.
3. El clima de los fines de semana de una región en temporada de verano.

Tamaño de la muestra:

El tamaño de la muestra es el número de elementos que contienen nuestra muestra.

Ejemplos:

• Si vamos a estudiar a los niños de 12 años, podemos seleccionar una muestra de 5,000 de los 3 millones de niños de esa edad que componen la población.
• En un estudio de negocios, podemos seleccionar solo 50 negocios de los 200 negocios que hay en una ciudad.

Individuo o unidad estadística

El individuo o la unidad estadística es cada elemento que componen a la población o la muestra.

Ejemplos:

• En un estudio de perros, cada perro será un individuo.
• En un estudio de negocios, cada negocio será un individuo o una unidad estadística.

Censo:

Cuando la muestra que se va a estudiar es del mismo tamaño que la población, se le llama censo. Es decir, a cada uno de los elementos de la población se les realiza el estudio.

Ejemplo:

El censo de población que hace el INEGI cada 10 años se estudia a cada uno de todos los hogares de México

Variable:

La variable en estadística es la característica (atributo) que se va a medir de los elementos de la muestra.

Ejemplos:

1. Estatura de los habitantes de un país.
2. Sabor de los productos de una empresa.
3. Temperatura del clima de una región.

Tipos de variables en estadística

Las variables estadísticas se dividen en variable cuantitativa y variable cualitativa.

La variable cuantitativa es la característica que se pueden medir con números.

Ejemplos:

• La estatura
• La temperatura

La variable cualitativa es la característica que no se puede medir con números.

Ejemplos:

• El sabor de ciertos productos
• El olor
• La belleza
• El estado civil de las personas

Muestreo

El muestreo es el proceso y la forma para seleccionar los elementos de la muestra. Es decir, los elementos que realmente serán analizados.

Ejemplo:

• Si vamos a estudiar a los perros, el muestro es el proceso para determinar el número de perros que vamos a estudiar, la raza, la edad, los tiempos del estudio.

Dato

El dato es el valor determinado que se obtiene de una medición, también se dice que es uno de los valores que adquiere la variable.

Ejemplo:

• Estatura de los perros a estudiar
• Número de hijos de los habitantes de una ciudad

Variabilidad

La variabilidad se refiere a los cambios que presentan los valores de una variable.

Ejemplo:

• Dentro de las estaturas de los perros del estudio, estas pueden variar desde 15cm para un perro chihuahua tipo cabeza de manzana, hasta 1 metro y medio para una gran Danés.
• En la cantidad de hijos de las personas, pueden variar desde 0 hijos hasta 8 o 10, según la época y el lugar del estudio.

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¿Qué es la estadística?

La estadística es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos de datos y la forma de representar estas propiedades.

Es decir, un conjunto de datos puede tener un numero promedio o un número que se repite más que otros, y a estos datos se les puede representar de formas graficas.

De manera más formal, la estadística es la rama de las matemáticas que estudia la organización, el análisis, la interpretación y la presentación de un conjunto de datos.

Tipos de estadística

La estadística se divide en dos tipos:

• La estadística descriptiva

La estadística descriptiva tiene como objetivo resumir, describir y visualizar las propiedades de un conjunto de datos.

• La estadística inferencial

La estadística inferencial tiene como objetivo construir un modelo de las propiedades del conjunto de datos para poder realizar predicciones sobre lo que se está estudiando.

La probabilidad

La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia los eventos o fenómenos que ocurren al azar.

Ejemplos:

• Lanzar los dados
• La lotería
• Los eventos atmosféricos (lluvia, sol, etc.)
• Los accidentes automovilísticos

Nota:

En los próximos capítulos se estudia a detalle los temas de probabilidad y estadística.

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Las relaciones de proporcionalidad se pueden representar en el plano cartesiano de la siguiente forma:

Recuerda que una relaciona de proporcionalidad es la igualdad entre dos razones:

Para representar esta relación de proporcionalidad tomamos a los numeradores como los valores de “x” en el plano cartesiano y los denominadores como sus valores “y”.

Y después graficamos estos puntos en el plano cartesiano.

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