Categoría: Matemáticas

Definición de geometría

La geometría es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las formas o figuras y de los cuerpos geométricos.

Tipos de geometrías:

Existen diferente tipos de geometrías, las más generales son:

• Geometría plana

La geometría plana estudia las propiedades de las figuras en dos dimensiones (en un plano).

• Geometría espacial

La geometría espacial estudia las propiedades de los cuerpos en tres dimensiones.

• Geometría analítica

Estudia las propiedades de las figuras geométricas a través de ecuaciones matemáticas.

• Geometría descriptiva

Estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos a través de sus proyecciones en diferentes planos.

Otros conceptos geométricos

Figura geométrica

Una figura geométrica es una composición de líneas rectas o curvas en un plano de dos dimensiones.

Cuerpo geométrico

Un cuerpo geométricos es una composición de líneas rectas o curvas en un espacio de tres dimensiones.

Plano

Es el espacio determinado por dos dimensiones y donde se representan figuras planas.

Espacio tridimensional

Es el espacio constituido por 3 dimensiones, tal como nuestra realidad (sin contar la variable del tiempo). En este espacio se representan todos los cuerpos de 3 dimensiones.

Ejemplo:

Personas, balones, carros, hojas de papel (aunque su grosor sea muy pequeño), etc.

Axioma

Un axioma es una proposición matemáticas tan clara y evidente que no requiere demostración, y se asumen como verdaderas.

Postulado

Un postulado es una proposición matemática que tampoco requiere demostración, aunque no sea tan evidente como los axiomas

Ejemplos:

• La distancia más corta entre dos puntos es una línea recta
• Entre dos puntos dados solo puede trazarse una línea recta

Definición

Una definición es una descripción clara y especifica de las propiedades de un objeto geométrico.

Ejemplos:

• Un triángulo está constituido por 3 lados
• Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos

Teorema

Un teorema es una proposición matemática que requiere demostración

Ejemplos:

• El teorema de Pitágoras
• Dos rectas perpendiculares a una tercera recta son paralelas

Corolario

Un corolario es una proposición matemática que surge como consecuencia inmediata de un teorema.

Ejemplo:

• La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulos es igual a 90 grados.

Su teorema es: La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180 grados

Mas ejercicios, problemas y preguntas de simulación en nuestra guía desarrollada para el ingreso al bachillerato (COMIPEMS y UNAM):

Existen diferentes técnicas para poder realizar el conteo de un experimento. Las más importantes son:

• El diagrama de árbol
• El principio multiplicativo
• El principio aditivo
• Permutaciones
• Combinaciones

El diagrama de árbol

El diagrama de árbol consiste en representar todos los eventos posibles de un experimento a través de líneas rectas convergentes.

Ejemplo 1:

En un salón de clases, 15 alumnos les gustan las manzanas, otros 25 alumnos les gustan las fresas y otros 10 alumnos les gustan los duraznos.

Si eliges a un alumno al azar de este salón de clases, ¿qué probabilidades tienes de seleccionar a un alumno que le gusten los duraznos?

La probabilidad de que un alumno prefiera duraznos es:

Es decir, tenemos 20% de probabilidades de que al seleccionar a un alumno al azar le gusten los duraznos.

Ejemplo 2:

¿Qué probabilidades tienes de obtener cara-cara en un bolado de doble lanzamiento?

Dibujamos las posibles opciones:

Con esto, podemos observar que el número total de eventos es igual a 4, por lo que aplicando nuestra formula tenemos:

Es decir, tenemos 25% de probabilidades de que obtengamos en el primer lanzamiento cara y en el segundo lanzamiento otra vez cara.

El principio multiplicativo

En un experimento compuesto por 2 sucesos interdependientes, cada uno con un posible resultado, para calcular el número total de posibles resultados compuestos es igual a la multiplicación de los posibles resultados del primer suceso por los posibles resultados del segundo suceso.

Ejemplo:

En el lanzamiento de dos dados, queremos saber que probabilidad tenemos de obtener un 6. Para calcular la probabilidad ocupamos nuestra formula, pero como no sabemos el número total de posibles resultados, podemos hacer una diagrama de árbol o aplicar el principio multiplicativo.

Por lo cual tendríamos:

Lo que nos indica que tenemos 36 posibles resultados.

Para obtener un 6, podemos construirlo con: 4+2, 2+4, 5+1, 1+5, 3+3, 3+3.

Aplicando nuestra fórmula para obtener la probabilidad obtenemos:

Lo que podemos decir es que tenemos 16% de probabilidades de obtener un 6 en nuestra tirada de dos dados.

El principio aditivo

En un experimento compuesto por dos sucesos independientes, es decir, que ocurren de manera separa uno del otro, la cantidad total de posibles resultados es igual a la suma de los posibles resultados de un suceso más los posibles resultados del 2do suceso.

# total de eventos = # de posibles resultados del 1er suceso + # de posibles resultados del 2do suceso

Ejemplo:

Para conocer el número total de eventos en un juego de lanzamiento de dos dados, uno independiente del otro, tenemos que:

# total de eventos = # de posibles resultados del 1er suceso + # de posibles resultados del 2do suceso

# total de eventos = 6 + 6 = 12

Si quisiéramos conocer cuál es la probabilidad de obtener un 5 o un 4 en alguna de las tiradas de los dados:

Tendríamos:

Y podríamos decir que tenemos el 33% de probabilidades de obtener un 4 o un 5 en alguna de las tiradas de los dados.

Combinaciones

Una combinación es un subconjunto de elementos de un conjunto mayor, donde no importa el orden de estos elementos.

Para calcular el número de combinaciones posibles en un conjunto de elementos aplicamos la formula:

Donde:

• n = tamaño del conjunto
• r = tamaño de la combinación
• x! (se lee equis factorial) = x * (x-1) * (x-2)… (n – n-1)

Ejemplo 1:

Tenemos 3 pelotas color azul, rojo y verde, ¿Cuantas combinaciones podemos formar de 2 pelotas?

Como no importa el orden, podemos formar las siguientes posibilidades:

Azul y rojo

Azul y verde

Rojo y verde

Es decir, solo 3 combinaciones de 2 pelotas podemos formar con 3 pelotas diferentes.

Aplicando la formula obtenemos:

Ejemplo 2:

Si en nuestro salón de clases hay 30 alumnos, ¿cuántas combinaciones de 5 elementos podemos formar?

Posiblemente estas pensado que podemos formar 6 grupos de 5 elementos, pero esto es incorrecto, porque cuando se forman estos grupos, “solo es 1 posibilidad de formar los 5 grupos”.

Aplicando nuestra formula obtenemos:

Es decir, tenemos 142,506 posibles combinaciones de 5 personas en un salón de 30.

Permutaciones

Una permutación es un grupo de elementos igual o de menor tamaño que del conjunto mayor, donde si importa el orden de estos elementos.

Para calcular el número de permutaciones posibles en un conjunto de elementos aplicamos la formula:

Donde:

• n = tamaño del conjunto
• r = tamaño de la permutación
• x! (se lee equis factorial) = x * (x-1) * (x-2)… (n – n-1)

Ejemplo 1:

En el mismo problema de las 3 pelotas color azul, rojo y verde, ¿Cuántas permutaciones podemos formar de 2 pelotas?

Como si importa el orden, podemos formar las siguientes posibilidades:

• Azul y rojo
• Rojo y azul
• Azul y verde
• Verde y azul
• Rojo y verde
• Verde y rojo

Es decir, 6 permutaciones de 2 pelotas podemos formar con 3 pelotas diferentes.

Aplicando la formula obtenemos:

Ojo:

Como ahora si consideramos el orden de las pelotas, podemos hacer mas subgrupos (permutaciones) que combinaciones.

Mas ejercicios, problemas y preguntas de simulación en nuestra guía desarrollada para el ingreso al bachillerato (COMIPEMS y UNAM):

¿Qué es el conteo?

El conteo en probabilidad es el proceso mediante el cual se calcula el número total de eventos o de resultados que pueden ocurrir en un fenómeno.

Es decir, en los fenómenos que ya hemos analizados, podemos decir que:

• El conteo en un volado es el número de resultados posibles, que es igual a 2. Cara o cruz
• El conteo del lanzamiento de un dado es igual a 6, porque hay 6 resultados posibles (1, 2, 3, 4, 5 y 6)

Sin embargo, existen fenómenos que es muy complicado saber el número total de posibles resultados.

Por ejemplo:

En una caja tienes 3 pelotas de color azul, roja y verde. ¿Qué probabilidades tienes de sacar primero una roja, después una verde y al último una azul?

Para poder aplicar nuestra formula que ya estudiamos:

Necesitamos saber el número total de resultados:

Para obtenerlos de manera individual, enumerados todos los posibles resultados:

1. Azul, roja y verde
2. Azul, verde y roja
3. Roja, verde y azul
4. Roja, azul y verde
5. Verde, roja y azul
6. Verde, azul y roja

Como veras tenemos 6 posibles resultados con solo 3 pelotas de diferentes colores. Si la cantidad de pelotas aumentará a 5, tendríamos 20 posibles resultados.

Utilidad del conteo

El conteo no ayuda a calcular el número total de posibles resultados en un experimento.

Técnicas del conteo

Existen diferentes técnicas para poder realizar el conteo de un experimento. Las más importantes son:

• El diagrama de árbol
• El principio multiplicativo
• El principio aditivo
• Permutaciones
• Combinaciones

En los próximos temas veremos las técnicas del conteo.

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Determinar la probabilidad de un evento

La probabilidad de un evento como posibilidad de que ocurra se puede medir y sus valores pueden ser desde 0(cero) hasta 1(uno).

• El 0(cero) en probabilidad significa que no tienen ninguna probabilidad de que ocurra, es decir, de que es imposible que ocurra
• El 1(uno) quiere decir que es completamente seguro que ocurra.

Enfoques para determinar la probabilidad de un suceso

Para determinar la probabilidad de un suceso aleatorio existen varios enfoques, los cuales son:

1. El enfoque objetivo
   1. Probabilidad clásica
   1. Probabilidad empírica
2. El enfoque subjetivo

Determinar la probabilidad con la probabilidad clásica

Para determinar la probabilidad con la probabilidad clásica:

No se consideran experimentos pasados

Solo se consideran las posibilidades de un evento entre todas las posibilidades

Es decir:

En una caja de 15 huevos hay 5 huevos que ya no sirven. ¿Qué probabilidad tenemos de sacar un huevo podrido?

Para esto aplicamos la formula:

Resultado:

Tenemos 0.3 0 30% de probabilidad de sacar un huevo podrido de una caja de 15 huevos.

Ejemplo 1:

En el juego de los volados, o también llamado cara o cruz, una moneda se lanza para obtener dos resultados: cara o cruz (águila o sol).

¿Qué probabilidad hay de que en un lanzamiento obtengamos cara?

Determinar la probabilidad con la probabilidad empírica

Para determinar la probabilidad con la probabilidad empírica:

Si se consideran experimentos pasados, ya que estos también nos dan información de lo que puede pasar.

Para calcular la probabilidad aplicamos la siguiente formula:

Ejemplo:

Tu anotas las veces que tu mejor amigo o amiga del salón, llego tarde a la primera clase. De las 20 veces que anotaste, 8 veces llego tarde. Para calcular la probabilidad de que llegue tarde mañana, aplicamos la formula:

Resultado:

Con este resultado, puedes decir, que tu mejor amigo o amiga, tiene el 40% de probabilidades de que llegue tarde mañana.

Nota extra:

Con este resultado, si alguien te pregunta si tu amigo o amiga va a llegar tarde mañana ¿Qué responderías? ¿Qué es más probable que si llegue tarde o que es más probable que no llegue tarde?

Determinar la probabilidad con el enfoque subjetivo

Para calcular la probabilidad de un evento con el enfoque subjetivo se asigna esta probabilidad con base en la información disponible o en la experiencia del experimentador.

Ejemplo:

Para determinar la probabilidad de que tu equipo de futbol gane el torneo esta temporada, no te va a ayudar las veces que ha ganado en los torneos anteriores, porque las condiciones han cambiados. Ya son diferentes jugadores con diferentes habilidades.

Entonces lo que usarías para determinar esta probabilidad, seria analizar a los jugadores que tienen ahora y a los jugadores de los equipos contrarios.

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Experimento

Es una acción o proceso que se realiza para obtener un resultado o una observación de un fenómeno.

Por ejemplo:

Queremos saber cuántos de nuestros compañeros del salón de clase desayunan antes de llegar a la escuela. El experimento seria preguntarle a cada compañero si desayuno o no antes de llegar a la escuela.

Evento

Un evento es el resultado de un experimento.

Por ejemplo:

Para nuestro estudio anterior, después de realizar el experimento, es decir, después de preguntarle a un compañero si desayuno o no, tendremos un evento, que es la respuesta de este compañero. Que podría ser, si desayuno o no desayune.

Población

La población es el conjunto total de entidades (personas, objetos u experimentos) de los cuales se quiere tener información.

En probabilidad utilizamos más la palabra experimentos, por lo que una población en probabilidad es el conjunto total de experimentos que vamos a estudiar.

Por ejemplo:

De nuestro estudio de ejemplo, nuestra población seria todos nuestros compañeros del salón.

Muestra

Una muestra es un subconjunto de entidades de la población seleccionadas a través de un procedimiento.

Por ejemplo

De la población anterior, que son todos nuestros compañeros, solo le vamos a preguntar a los compañeros que nos caen bien. Por lo que estos compañeros, serian una muestra de toda la población.

Muestreo

Procedimiento a través del cual se seleccionan las entidades de la muestra para ser estudiadas.

Ojo:

Este concepto es muy importante, porque si tu quieres estudiar un fenómeno, pero escoges de manera incorrecta a tu muestra, los resultados serán incorrectos.

Para resolver este problema, tenemos dos tipos de muestreo:

Tipos de muestreo

Los principales tipos de muestreo son:

• Muestreo probabilístico es donde cada entidad de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado

• Muestreo intencional es donde el investigador selecciona las entidades de la muestra con base en ciertos criterios.

Probabilidad

Como ya lo mencionamos en el tema pasado, la probabilidad tiene dos significados:

Como rama de las matemáticas y como la posibilidad de que ocurra un suceso.

En el caso de la posibilidad de que ocurra un suceso, la probabilidad se define como:

El valor entre 0 y 1 que mide la posibilidad de que ocurra un suceso.

El 0 significa que es imposible que ocurra un suceso

El 1 significa que es seguro que ocurra un suceso.

Ejemplos:

• Existe 0 de posibilidad de que mañana no salga el sol
• Existe 1 de posibilidad de que mañana si salga el sol

• Existe 0.5 de posibilidad de que caiga sol en un volado.
• Existe 0.5 de posibilidad de que caiga águila en un volado.

Nota:

Como te darás cuenta, los números entre 0 y 1 también se pueden expresar en porcentaje, como ya lo vimos en el tema de aritmética.

Ejemplos:

• Existe 0% de probabilidades de que mañana no salga el sol. Es decir, es imposible de que mañana no salga el sol.
• Existe 100% de probabilidades de que mañana si salga el sol. (es decir,es seguro que mañana salga el sol)

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La palabra probabilidad tienen dos significados diferentes dentro de las matemáticas y la vida diaria.

1. La probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia un conjunto de fenómenos gobernados por el azar o la aleatoriedad.

• El otro significado de la palabra probabilidad es la posibilidad de que un evento ocurra.

Utilidad de la probabilidad

La probabilidad como rama de las matemáticas nos ayuda a “predecir” algunos fenómenos con cierta exactitud.

Es decir, cuando un fenómeno se repite muchas veces, la probabilidad puede decirnos que es lo que puede pasar en la próxima ocasión que se repita este evento.

Por ejemplo:

1. ¿Qué posibilidad hay de que llueva mañana?
2. ¿Qué posibilidad hay de que me gane la lotería?

Teniendo una idea de que es lo que va a pasar en el futuro, podemos planear nuestras acciones.

Por ejemplo:

Si hay muchas posibilidades de que llueva mañana, mejor hoy me compro una sombrilla.

Si hay muy pocas posibilidades de ganarme la lotería, mejor me compro un helado.   

Ojo:

Aunque los fenómenos naturales tengan sus causas precisas, en muchas ocasiones son tan complejas que no pueden ser estudiadas con precisión, por lo que la probabilidad nos ayuda a estudiarlas de otra forma.

En los siguiente temas estudiaremos:

• Conceptos iniciales de probabilidad
• Cálculo de la probabilidad
• Problemas de conteo

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• 1.- El dueño de una cafetería quiere saber cuál es la moda en el tamaño los frappés que vende. Para esto tiene los siguientes datos:

Colocamos el número que se repiten cada tamaño de frappé.

Y obtenemos que la moda del conjunto de datos que tenemos es:

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• 1.- El encargado de un almacén quiere conocer cuál es la mediana de los paquetes que tiene que acomodar para saber más o menos cuanto espacio tiene que ocupar. Los datos son en metros cúbicos:

Primero tenemos que ordenar nuestros datos:

 Y detectamos que como tenemos una cantidad par de datos (12) los dos números que están a la mitad son:

Por lo que obtenemos el promedio de estos dos:

Resultado:

Así que tenemos que la mediana de el volumen de todos los paquetes es: 0.31 metros cúbicos.

Mas problemas y ejercicios en nuestra guía digital:

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• 1.- Determina la media del siguiente conjunto de números: 4,6,33,5,14,4,13,31,21,12.

Aplicamos la fórmula de la media aritmética:

Resultado:

La media de nuestro conjunto de datos es: 14.3

• 2.- Tu profesor de deportes quiere saber cuál es la estatura media de tu salón de clases. Para esto solo toma una muestra de 5 mujeres y 5 hombres al azar. Los datos son:

Determina el promedio de la estatura de todo tu salón con los datos de la muestra obtenida:

Aplicamos la formula del promedio (media aritmética):

Resultado:

La media de nuestro conjunto de datos es: 1.61

Ojo:

Este dato te puede ayudar a tener una idea o una aproximación de cuanto pueden medir los otros compañeros, aunque no hayan sido medidos.

Mas ejercicios y problemas en nuestra guía digital:

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Las medidas de tendencia central son números que nos indican que nuestros datos “tienden” hacia ciertos valores centrales o se van a agrupar hacia cierto valor.

Por ejemplo:

• En nuestro salón de clases, existen diferentes estaturas de nuestros compañeros, pero hay una estatura que es la más parecida a todas, esta estatura puede ser la estatura promedio.

Estos valores centrales, llamadas medidas de tendencia central son:

1. La media aritmética o también llamado promedio.
2. La mediana
3. La moda

La media aritmética (promedio)

La media aritmética, también llamado promedio es la medida de tendencial central que se obtiene sumando todos los valores y luego dividiéndolo entre el número de datos.

Ejemplo:

• Los 3 hijos de Adriana tienen 10, 12 y 14 años. Para obtener la media aritmética se suman las 3 edades y se dividen entre 3.

Obtenemos 13. Es decir, el promedio de las 3 edades es 13.

La mediana

La mediana es el número que se encuentra exactamente a la mitad de nuestro conjunto de datos cuando se ordenan de menor a mayor.

Si el cantidad de datos es par, la mediana será el promedio de los dos datos que se encuentre a la mitad.

Ejemplos:

Orden de menor a mayor:

Los dos datos que se encuentran a la mitad es 5 y 5. El promedio de estos es 5.

La mediana de nuestro conjunto de datos es 5.

La moda

La moda es el numero o dato que tiene la mayor frecuencia absoluta, es decir, es el dato que más se repite de todo nuestro conjunto de datos.

Si el conjunto de datos tiene dos modas se llama bimodal; tres modas, trimodal, más de tres modas, multimodal.

Ejemplo:

La moda del conjunto de datos anterior es el número 5.

Nota:

En los próximos temas presentaremos los diferentes tipos de problemas de media, mediana y moda.

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