La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Los elementos de una parábola son:

         1.-Foco: Es el punto fijo de un lado de la parábola.

         2.-Directriz: Es la recta fija del otro lado de la parábola.

3.-Distancia focal o Parámetro: Es la distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz, se designa por la letra p.

Advertencia: Algunos autores consideran p, como la distancia entre “la directriz” y “el foco”, y otros autores la consideran como desde “el vértice” al “foco”, la ecuación de la parábola cambia, pero los resultados son los mismo. Nosotros consideramos a p, como la distancia desde el vértice al foco para obtener una ecuación de la forma:       

4.- Eje focal: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

5.- Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

6.-Lado recto: Es el segmento de recta paralelo a la directriz, toca a la parábola en 2 puntos y pasa por el foco de esta. El lado recto mide 4 veces la distancia focal o 4p.      

6.- Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

La parábola con vértice en el origen y que el eje focal coincide con alguno de los ejes coordenados puede tener 2 casos diferentes:

         1.-Parabola horizontal

         2.-Parabola vertical

Concavidad:

         Si p > 0 la parábola es cóncava hacia la derecha (abre hacia la derecha)

         Si p < 0 la parábola es cóncava hacia la izquierda (abre a la izquierda)

Concavidad:

         Si p > 0 la parábola es cóncava hacia arriba (abre hacia arriba)

         Si p < 0 la parábola es cóncava hacia abajo (abre hacia abajo)

Gráficas y ecuaciones de la parábola en sus distintas ecuaciones (con vértice en el origen).

Sugerencia: Si no recuerdas con precisión las formas de las ecuaciones de cierta parábola:

         1.-Despeja la variable “y”

         2.-Da por lo menos dos valores a “x” y calcula su valor “y”

         3.-Esos puntos que obtengas, te darán una idea de la dirección de la parábola.

Recuerda que:

1.-la raíz de cualquier número, son 2 números, uno negativo y otro positivo.

         2.-Que un número positivo o negativo al cuadrado, los dos dan resultados positivos por las leyes de los signos.

La circunferencia es una línea curva cuyos puntos tienen la misma distancia hacia un punto llamado centro.

Los elementos de una circunferencia son:

         1.-Radio: Es la distancia entre todos los puntos de la circunferencia y el centro.

         2.-Diametro: Es la recta que une dos puntos distintos de la circunferencia y que pasa por su centro

         3.-Arco: Es un segmento de la circunferencia

         4.- Cuerda: Es la línea que une dos puntos de la circunferencia sin tener que pasar por su centro

         5.-Sector: Es la parte de la interna de la circunferencia que une dos puntos distintos de ella y su centro

         6.-Tangente: Es la línea recta que toca en un solo punto a la circunferencia

         7.-Secante: Es la línea recta que corta a la circunferencia en dos de sus puntos

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Forma ordinaria (canónica)

de la ecuación de la circunferencia

con centro en el origen

x² + y² = r²

FORMA GENERAL

de la ecuación de la circunferencia

con centro en el origen

AX² + BY² –C² = 0

Donde A = B

La intersección de rectas es cuando dos líneas rectas o más coinciden o “se tocan en un punto”.

En general, dos líneas rectas en un plano pueden tener 3 resultados diferentes:

         1.-Se tocan en un solo punto

         2.-No se tocan en ningún punto, son paralelas

         3.-Se tocan en todos los puntos, son líneas idénticas

Intersección de dos rectas

Para encontrar el punto donde dos líneas de cortan:

         1.-Se igualan las ecuaciones de las líneas

         2.-Se resuelve la ecuación resultante

         3.-El resultado es el punto donde se cortan

Ojo: si no tiene solución la ecuación resultante, es que las líneas no se cortan.

Intersección de líneas rectas en un triangulo

Mediana: Es el segmento de recta que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.

Para obtener la ecuación de la mediana:

         1-Se utiliza la ecuación de la recta que pasa por 2 puntos

         2.-En esta ecuación se sustituye (x₁, y₁) por el vértice desde donde se vaya a tomar la mediana.

         3.-Para obtener el otro punto (x₂, y₂) se obtiene a partir de la fórmula para el punto medio de una recta.

         En este caso, (x₁, y₁), (x₂, y₂) serán los valores del lado opuesto al vértice donde salga la mediana

Mediatriz: Es la recta que pasa por el punto medio de un lado de un triángulo y que es perpendicular a ese mismo lado.

Para obtener la ecuación de la mediatriz de un triángulo:

         1-Se utiliza la ecuación de la recta punto-pendiente

                   y – y₁ = m (x – x₁)

         2.-En esta ecuación se sustituye (x₁, y₁) por el punto medio del lado donde se vaya a tomar la mediatriz, ocupando las fórmulas para el punto medio:

         3.-Para obtener la pendiente m, se calcula la pendiente de este mismo lado y se aplica la perpendicularidad de las líneas.

                            m₁ = – (1/ m₂)        o      m₁ + m₂ = -1

Altura: Es el segmento de recta perpendicular trazado desde un vértice del triángulo hacia el lado opuesto.

Para obtener la ecuación de la altura de un triángulo:

         1-Se utiliza la ecuación de la recta punto-pendiente

                   y – y₁ = m (x – x₁)

         2.-En esta ecuación se sustituye (x₁, y₁) por el vértice desde donde se vaya a tomar la altura.

         3.-Para obtener la pendiente m, se calcula la pendiente del lado opuesto al vértice anterior y se aplica la perpendicularidad de las líneas.

                            m₁ = – (1/ m₂)        o      m₁ + m₂ = -1

PUNTOS DE INTERSECCIÓN EN UN TRIANGULO:

BARICENTRO:

         Es el punto donde se intersectan las medianas

Para obtener sus coordenadas, utilizamos la formula siguiente:

CIRCUNCENTRO:

         Es el punto donde se intersectan las mediatrices.

         También se llama circuncentro, porque si trazamos un circulo que toque los vértices del triángulo en cuestión, el circuncentro, será el centro del circulo trazado.

         Para hallar las coordenadas del circuncentro:

                   1.-Se deben obtener las ecuaciones de dos de las mediatrices

                   2.-Con esto se resuelve el sistema de dos ecuaciones con 2 incógnitas para obtener el punto en el que se intersectan, el cual será el circuncentro del triangulo

ORTOCENTRO:

         Es el punto donde se intersectan las alturas

Para hallar las coordenadas del ortocentro:

                   1.-Se deben obtener las ecuaciones de dos de las alturas

                   2.-Con esto se resuelve el sistema de dos ecuaciones con 2 incógnitas para obtener el punto en el que se intersectan, el cual será el ortocentro del triangulo

Con la ecuación de la pendiente

Si consideramos a uno de los puntos (x₂, y₂) como (x, y) y despejamos, podemos obtener las diferentes formas de la ecuación:

         1.-Ecuacion general de la recta:

Ax + By + C  = 0

Donde A, B y C son constantes

         2.-Ecuacion de la recta con pendiente “m” y ordenada en el origen (b):

y = mx + b

Nota: “b” se le llama ordenada en el origen porque cuando “x = 0”, “y = b”, es decir, la recta pasa por el punto (0, b)

1. Ecuación de la recta punto-pendiente:

y – y₁ = m (x – x₁)

4.-Ecuacion de la recta que pasa por dos puntos:

         5.-Forma simétrica de la ecuación de la recta:

PARALELISMO:

         Dos rectas son paralelas si:

                   Sus pendientes son iguales

PERPENDICULARIDAD:

         Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes:

                   m₁ = – (1/ m₂)    o      m₁ + m₂ = -1

La pendiente de una recta es la inclinación que tiene esta, con respecto al eje “x”.

Si dibujamos una línea recta en el plano cartesiano, podemos construir un triángulo rectángulo. Como la inclinación la tomamos considerando el eje “x”, entonces consideramos el ángulo que se forma entre este eje y la línea recta.

Así que el cateto opuesto, será el cateto vertical y el cateto adyacente será el cateto horizontal.

Con esto observamos que la inclinación de la línea recta es igual a la proporción que hay entre los valores de los catetos.

         Si crece el cateto opuesto, la línea recta será más vertical

         Si crece el cateto adyacente la línea será más horizontal.

Por lo tanto, la pendiente m:

Extra: Dado que cateto opuesto / cateto adyacente, por definición es a tangente de ángulo.

         m = tangente (θ)

Es decir, la pendiente (m) de una línea recta es igual a la tangente del ángulo que forma con respecto al eje “x”.

VALORES DE LA PENDIENTE SEGÚN SU INCLINACIÓN

Cuando un punto divide a un segmento de una línea recta, aparece una propiedad que nos ayudara a encontrar su valor.

“El punto divide en la misma proporción la proyección de la línea sobre el eje “x”, como la proyección en el eje “y””.

Ojo, tienen la misma “proporción”, no el mismo valor.

Por lo tanto:

TIPOS DE PROBLEMAS:

Si nos dan los puntos de la recta y el punto que la divide, con la formula anterior calcular la razón.

Si nos dan la razón y los puntos de la recta, despejamos la ecuación anterior y obtenemos:

PRECAUCION:

         Aunque parezca extraño, un punto puede dividir a un segmento estando “dentro del segmento” o estando “afuera” de él.

         Si el punto está dentro del segmento la razón será positivo

         Si el punto está fuera del segmento la razón será negativa

CASO ESPECIAL: PUNTO MEDIO

Para que el caso que el punto que divide al segmento, lo divida a la mitad exactamente, la formula se simplifica como sigue:

La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano es igual a la línea recta que los une.

Si dibujamos los 2 puntos en el plano cartesiano, podemos ver que la línea que los une, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Como ya conocemos el Teorema de Pitágoras, lo aplicamos para obtener el valor de esta línea recta que es “la distancia entre los dos puntos”.

Por lo tanto, la distancia entre P₁ y P₂ es igual a:

La resolución de triángulos oblicuángulos es la operación para encontrar el valor de tres de sus 6 datos que tiene un triángulo oblicuángulo.

Es decir, el triángulo oblicuángulo tiene:

         1.-3 ángulos

         2.-3 lados

Y resolverlo significa tener el valor de todos sus datos. Para esto se requiere tener 2 lados y 1 ángulo o 2 ángulos y 1 lado. Y se requieren de cualquiera de las 3 herramientas siguiente:

LEY DE LOS SENOS:

Esta ley se aplica cuando:

1.- Se conocen 2 lados y un ángulo opuesto a uno de esos lados

2.- Se conocen 2 ángulos y un lado opuesto a uno de esos ángulos

LEY DE LOS COSENOS:

Esta ley se aplica cuando:

1.- Se conocen 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos.

2.- Se conocen 3 lados

Casos que se presentan:

         1.-Se conoce los 3 lados, calcular los 3 ángulos:

                   Usar: Teorema del coseno

         2.-Se conoce un lado (a) y los ángulos adyacentes (B y C) se tiene que calcular los dos lados faltantes (a y b) y el ángulo faltante (A)

                   Usar: Suma de ángulos de un triángulo y Teorema de los senos

         3.-Se conocen 2 lados (a y b) y el ángulo formado (C), se tiene que calcular un lado (c) y los dos ángulos restantes (A y B)

                   Usar: Teorema del coseno

         4.-Se conocen dos lados (a y b) y el ángulo opuesto a uno de ellos (A), se tienen que calcular el lado faltante (c) y los 2 ángulos restantes (B y C).

                   Usar: Teorema de los senos

Debido a que existen triángulos que no tienen un ángulo recto (90⁰), estos no se pueden resolver por el teorema de Pitágoras.

Por lo tanto, se tienen que aplicar la ley de los senos y de los cosenos para resolver la misma clase de problemas. “Encontrar el valor de algún lado o ángulo faltantes, teniendo el valor de los otros.”

LEY DE LOS SENOS

La razón o la división de un lado de un triángulo entre el seno del ángulo opuesto a ese ángulo es igual a todas las razones de los demás lados.

LEY DE LOS COSENOS

Establece que el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al lado buscado.

O también se puede expresar de la siguiente forma: