Adyacentes: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1; 5 y 6; 6 y 7; 7 y 8; 8 y 5
Ángulos alternos internos: son los ángulos que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos alternos externos: son los ángulos que están en la parte exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal.
Ángulos correspondientes: son los que están del mismo lado de la transversal y en la misma posición respecto de cada paralela, pero uno es interno y el otro externo a las paralelas.
Ángulos conjugados internos: son dos ángulos internos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
Ángulos conjugados externos: son dos ángulos externos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el vértice común, un lado común que los separa y los otros dos lados en línea recta.
Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es de la forma:
Ax + By = C
A1x + B1y = C1
Para las cuales existen un valor de “x” y un valor de “y” que resuelve la ecuación.
Donde:
A, B, C, A1, B1 y C1 son constantes llamados coeficientes.
“x” y “y” son las variables del sistema con exponente igual a 1
Ejemplos:
Métodos de solución
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Ax + By = C
A1x + B1y = C1
Se pueden aplicar varios métodos. Sin embargo, antes de intentar resolverlas, podemos saber qué tipo de solución tiene el sistema.
Existen 3 tipos de soluciones:
1.-Una solución: Son los sistemas que solo tienen una solución, donde se tiene que encontrar el valor de “x” y de “y”.
2.-Una infinidad de soluciones: Si una ecuación del sistema se puede obtener por la multiplicación o división de un numero por la otra ecuación del sistema, entonces las dos ecuaciones son equivalentes.
3.-No tienen soluciones: Si A/A1 = B/B1 = k y C/C1 es diferente de k
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES
En términos geométricos, cada ecuación representa una línea en el plano cartesiano.
1.-Si son líneas diferentes, en algún punto se cruzan y ese punto representa la solución al sistema de 2 ecuaciones (x, y)
2.-Si son la misma línea, tendrán una infinidad de soluciones, ya que son ecuaciones semejantes
3.-Si son dos líneas diferentes pero paralelas, están no tendrán solución, ya que geométricamente no tienen un punto donde se intersecten.
Ejemplo
Después de haber conocido las posibilidades de solución y su representación geométrica, podemos utilizar alguno de los siguientes métodos para resolver el sistema.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN:
1.- Regla de Cramer o Método por determinantes
2.- Método de Reducción o de suma y resta:
3.- Método por sustitución:
Regla de Cramer o por determinantes:
Un determinante de 2 x 2 se representa como un arreglo de la siguiente forma:
Dado un sistema de 2 ecuaciones:
Ax + By = C
A1x + B1y = C1
Para resolver y obtener los valores de “x” y “y” aplicamos la siguiente regla:
El numerador determinante se obtiene sustituyendo los coeficientes de la variable a obtener por el coeficiente “c”
El denominador determinante se obtiene con los coeficientes de las variables “x” y “y”.
Método de Reducción o de suma y resta:
Este método consiste en:
1.- Eliminar una de las variables al sumar las dos ecuaciones y obtener una ecuación de primer grado con una variable
2.- Despejar esta variable y así obtener su valor.
3.- Se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones y se obtiene el valor de la otra variable.
Método por sustitución
En este método:
1.- Se elige una ecuación para despejar una de sus incógnitas
2.- Se sustituye en la otra ecuación, de esta manera se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita.
3.- En esta ecuación se despeja la incógnita y se obtiene su valor.
4.-Por ultimo este valor se sustituye en la otra ecuación y se obtiene el valor de la otra incógnita.
Racionalizar es el conjunto de operaciones mediante el cual se convierte una fracción que contenga una raíz en el denominador, en otra fracción equivalente, cuyo denominador NO tenga un radical.
Racionalización de un denominador monomio:
Sea la fracción:
se multiplica por el termino:
Recuérdese que, si a una fracción se le multiplica o divide el denominador y el numerador por una misma cantidad, da como resultado una fracción equivalente, es decir, con el mismo valor.
Racionalización de un denominador binomio:
Para racionalizar este tipo de fracción se multiplica por su conjugado.
El conjugado de un binomio (a + b) es el binomio (a – b).
El producto de dos binomios conjugados da como resultado una diferencia de cuadrado.
La factorización es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una suma o resta de términos algebraicos en un producto algebraico.
También se puede entender como el proceso inverso del desarrollo de productos notables.
Factor común
Reglas para obtener el factor común de un polinomio
Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes
Se identifica las literales con menor exponente que se repitan en cada uno de los términos algebraicos del polinomio a factorizar.
Ejemplos de factorización de un polinomio con factor común:
1.- En la expresión
El máximo común divisor de los coeficientes (3 y 6) es 3.
Y la literal que repite con menor exponente es x.
Por lo tanto, el factor común es 3x
Después cada uno de los elementos del polinomio se divide por el factor común:
y el resultado de la factorización es:
Factorización por agrupación
En la factorización por agrupación, no todos los elementos del polinomio comparten un factor común, por lo que se deben identificar primero los grupos de elementos que si comparten términos comunes y después factorizar cada grupo de elementos.
Ejemplos:
1.- Factorizar:
.
Agrupamos:
Y factorizamos los grupos:
Diferencia de cuadrados (x2 – y2)
La diferencia de cuadrados tiene la forma de x2 – y2 y su factorización es el producto de binomios conjugados:
Ejemplos:
1.- Factorizar:
Primero obtenemos la raíz de cada elemento del binomio:
Y factorizamos:
Trinomio al cuadrado perfecto (x2 + 2xy + y2)
Resultado:
Es un binomio al cuadrado
Reglas para factorizar un trinomio al cuadrado perfecto
Se ordenan los términos del trinomio en orden descendente a una de las literales, de forma que los extremos sean expresiones que tengan raíz cuadrada exacta
Se obtiene la raíz del primer y tercer termino
Para comprobar que haya sido un trinomio al cuadrado “perfecto”, se realiza el doble producto de los términos obtenidos en el paso dos y debe ser igual al 2do término del trinomio.
El signo del binomio que dio resultado es el mismo que el signo del 2do término del trinomio original
Ejemplos:
1.- Factorizar:
Obtenemos las raíces:
Se comprueba multiplicando el doble de las raíces:
Se agrupan las raíces y el signo coincide con el termino central del trinomio:
Trinomio de la forma: (x2 + bx + c)
Resultado:
Producto de dos binomios con término común: (x+e)(x+h)
Reglas para factorizar un trinomio de la forma (x2 + bx + c):
Se ordenan los términos del trinomio en orden descendente a una de las literales, de forma que el primer término sea una expresión que tenga raíz cuadrada exacta
Se obtiene la raíz cuadrada de este primer término y se coloca en los dos binomios
Se buscan dos números que su producto sea igual al 3er término del trinomio (c) y su suma aritmética sea igual al coeficiente del 2do término del trinomio (b). De estos números, el mayor se coloca en el primer binomio y el menor en el segundo binomio.
x2 + (e + h) x + (e * h) = (x + e) (x + h)
El signo del primer binomio es igual al signo del 2do término del trinomio, y el signo del segundo binomio es igual al signo resultante del producto de los signos del 2do por el 3er término del trinomio.
Ejemplos:
1.- El desarrollo del trinomio:
Se obtienen la raíz cuadrada del primer término para colocarlo en los dos binomios:
Se colocan los signos según la regla del punto 4
Se buscan los coeficientes según la regla del punto 3
El resultado es:
Trinomio de la forma (ax2 + bx + c)
Resultado:
Producto de dos binomios: (fx + e)(x + h)
Reglas para factorizar un trinomio de la forma (ax2 + bx + c):
Se ordenan los términos del trinomio en orden descendente a una de las literales
Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del 1er termino
Con esto, el trinomio del numerador se factoriza a dos binomios con termino común
A cada uno de estos dos binomios se les divide por el denominador para obtener los dos binomios de la forma: (fx + e) (x + h)
Ejemplos:
1.- Factorizar
Se multiplica y se divide por el coeficiente del término cuadrático:
Se factoriza el numerador en dos binomios con termino común y se divide a cada uno de ellos por el denominador:
Suma y diferencia de cubos: (x3 ± y3)
Resultado:
Producto de un binomio por un trinomio
Reglas para factorizar una suma o diferencia de cubos:
Se obtienen las raíces de cada uno de los términos
El primer término es un binomio igual a la suma o resta de estas raíces obtenidas
El segundo término es un trinomio igual:
1er termino: Igual al cuadrado de la raíz del primer término del binomio
2do término: Igual al producto de las raíces del binomio con signo opuesto.
3er término: Igual al cuadrado de la raíz del segundo término del binomio
Ejemplos:
1.- Factorizar:
Se obtienen las raíces cubicas de cada uno de los términos:
Se desarrolla el trinomio y obtenemos:
Mas ejercicios, problemas y preguntas de simulación en nuestra guía desarrollada para el ingreso al bachillerato (COMIPEMS y UNAM):
Los productos notables son aquellos productos de expresiones algebraicas que se pueden resolver con la ayuda de reglas generales y evitar que se hagan todas las operaciones de desarrollo.
Los productos notables más comunes son:
Binomio al cuadrado (x+ y)2
Binomios conjugados (x + y) (x – y)
Binomios con termino común (x + a) (x + b)
Binomio al cubo (x + b)3
Binomio al cuadrado
Resultado:
Trinomio al cuadrado perfecto:
REGLAS PARA DESARROLLAR EL BINOMIO AL CUADRADO:
Se eleva al cuadrado el primer término del binomio
Se suma o se resta el doble producto del primer término por el segundo
Se suma el cuadrado del segundo término del binomio
Ejemplo de binomio al cuadrado:
1.- El desarrollo de
es:
2.- El desarrollo de
Es
Binomios Conjugados (x + y) (x – y)
Resultado: Diferencia de cuadrados (x2 – y2)
Reglas:
1.-Se eleva al cuadrado el término que no cambia de signo
2.-Se resta el cuadrado del término que cambia de signo
Ejemplos:
1.- El desarrollo de:
es:
2.- El desarrollo de:
es:
Binomios con término común (x + a) (x + b)
Reglas:
1.-Se eleva al cuadrado el termino común
2.-Se suman algebraicamente los términos no comunes y se multiplican por el término común
3.-Se suma el producto algebraico de los dos términos no comunes
Binomios con término común: (x + a)(x + b)
Resultado:
Trinomio de la forma: x2 + (a + b) x + ab
REGLAS PARA DESARROLLAR BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN:
Se eleva al cuadrado el termino común
Se suman algebraicamente los términos no comunes y se multiplican por el término común
Se suma el producto algebraico de los dos términos no comunes
Ejemplos de desarrollo de binomios con termino común:
1.- El desarrollo de:
Binomio al cubo (x + y)3
Resultado:
Polinomio de la forma: x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Reglas para desarrollar un binomio al cubo:
El cubo el primer término
Mas el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo
Mas el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo termino
Mas el cubo del segundo término
Ejemplos:
1.- El desarrollo de
Mas ejercicios, problemas y preguntas de simulación en nuestra guía desarrollada para el ingreso al bachillerato (COMIPEMS y UNAM):
