Técnicas de conteo (probabilidad)

Existen diferentes técnicas para poder realizar el conteo de un experimento. Las más importantes son:

El diagrama de árbol
El principio multiplicativo
El principio aditivo
Permutaciones
Combinaciones

El diagrama de árbol

El diagrama de árbol consiste en representar todos los eventos posibles de un experimento a través de líneas rectas convergentes.

Ejemplo 1:

En un salón de clases, 15 alumnos les gustan las manzanas, otros 25 alumnos les gustan las fresas y otros 10 alumnos les gustan los duraznos.

Si eliges a un alumno al azar de este salón de clases, ¿qué probabilidades tienes de seleccionar a un alumno que le gusten los duraznos?

La probabilidad de que un alumno prefiera duraznos es:

Es decir, tenemos 20% de probabilidades de que al seleccionar a un alumno al azar le gusten los duraznos.

Ejemplo 2:

¿Qué probabilidades tienes de obtener cara-cara en un bolado de doble lanzamiento?

Dibujamos las posibles opciones:

Con esto, podemos observar que el número total de eventos es igual a 4, por lo que aplicando nuestra formula tenemos:

Es decir, tenemos 25% de probabilidades de que obtengamos en el primer lanzamiento cara y en el segundo lanzamiento otra vez cara.

El principio multiplicativo

En un experimento compuesto por 2 sucesos interdependientes, cada uno con un posible resultado, para calcular el número total de posibles resultados compuestos es igual a la multiplicación de los posibles resultados del primer suceso por los posibles resultados del segundo suceso.

Ejemplo:

En el lanzamiento de dos dados, queremos saber que probabilidad tenemos de obtener un 6. Para calcular la probabilidad ocupamos nuestra formula, pero como no sabemos el número total de posibles resultados, podemos hacer una diagrama de árbol o aplicar el principio multiplicativo.

Por lo cual tendríamos:

Lo que nos indica que tenemos 36 posibles resultados.

Para obtener un 6, podemos construirlo con: 4+2, 2+4, 5+1, 1+5, 3+3, 3+3.

Aplicando nuestra fórmula para obtener la probabilidad obtenemos:

Lo que podemos decir es que tenemos 16% de probabilidades de obtener un 6 en nuestra tirada de dos dados.

El principio aditivo

En un experimento compuesto por dos sucesos independientes, es decir, que ocurren de manera separa uno del otro, la cantidad total de posibles resultados es igual a la suma de los posibles resultados de un suceso más los posibles resultados del 2do suceso.

# total de eventos = # de posibles resultados del 1er suceso + # de posibles resultados del 2do suceso

Ejemplo:

Para conocer el número total de eventos en un juego de lanzamiento de dos dados, uno independiente del otro, tenemos que:

# total de eventos = # de posibles resultados del 1er suceso + # de posibles resultados del 2do suceso

# total de eventos = 6 + 6 = 12

Si quisiéramos conocer cuál es la probabilidad de obtener un 5 o un 4 en alguna de las tiradas de los dados:

Tendríamos:

Y podríamos decir que tenemos el 33% de probabilidades de obtener un 4 o un 5 en alguna de las tiradas de los dados.

Combinaciones

Una combinación es un subconjunto de elementos de un conjunto mayor, donde no importa el orden de estos elementos.

Para calcular el número de combinaciones posibles en un conjunto de elementos aplicamos la formula:

Donde:

n = tamaño del conjunto
r = tamaño de la combinación
x! (se lee equis factorial) = x * (x-1) * (x-2)… (n – n-1)

Ejemplo 1:

Tenemos 3 pelotas color azul, rojo y verde, ¿Cuantas combinaciones podemos formar de 2 pelotas?

Como no importa el orden, podemos formar las siguientes posibilidades:

Azul y rojo

Azul y verde

Rojo y verde

Es decir, solo 3 combinaciones de 2 pelotas podemos formar con 3 pelotas diferentes.

Aplicando la formula obtenemos:

Ejemplo 2:

Si en nuestro salón de clases hay 30 alumnos, ¿cuántas combinaciones de 5 elementos podemos formar?

Posiblemente estas pensado que podemos formar 6 grupos de 5 elementos, pero esto es incorrecto, porque cuando se forman estos grupos, “solo es 1 posibilidad de formar los 5 grupos”.

Aplicando nuestra formula obtenemos: