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Las operaciones básicas y propiedades de los números enteros

Como ya vimos, las operaciones básicas con números enteros son:

  • Adición o suma
  • Sustracción o resta
  • Multiplicaciones o Producto
  • División o Cociente

Pero antes de ver estas operaciones te aconsejamos recuerdes las siguientes propiedades de estas operaciones:

Las propiedades de los números enteros son:

  • Cerradura
  • Conmutativa
  • Asociativa
  • Neutro
  • Inverso
  • Propiedad distributiva

Propiedades de la suma de números enteros

Cerradura

Si dos números enteros se suman, el resultado también debe ser otro número entero.

Si a, b ϵ Z → a + b ϵ Z

Se lee: “Si dos números enteros cualquiera “a” y “b” están en el conjunto de los números enteros, su suma, también está en el conjunto de números enteros.

Es decir, si sumas dos número enteros, no vas a tener como resultado otro número raro, sino que también va a ser entero.

Ejemplo:

  • 3, 15 → 18 ϵ Z
  • 4 y 16 son enteros, el resultado 20, también es un entero.

Conmutativa

El orden de los números que se suman no altera el resultado.

a + b = b + a

A veces es más fácil hacer un tipo de operación mental, como 9 + 4, que hacer la operación mental de 4 + 9. Por lo que no tienes que preocuparte, ya que, por esta propiedad, el resultado es el mismo.

Ejemplo:

  • 4 + 9 = 9 + 4
  • 17 + 3 = 3 + 17

Asociativa

Los números de una suma se pueden agrupar sin alterar el resultado de la suma.

(a + b) + c = a + (b + c)

Regularmente cuando hacemos operaciones mentales, primero hacer unas operaciones y después las otras, esta propiedad nos dice que podemos hacer primero la suma de unos cuantos números, y después la suma de los otros.

Ejemplo:

  • (3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1)
  • 17 + 11 + 9 = 17 + 20
  • 12 + 8 + 3 + 17 = (20) + (20)

Neutro

Cualquier número sumado con el cero es igual al mismo número.

a + 0 = a

Ejemplo:
  • 24 + 0 = 24
  • 0 + 2 = 2

Inverso

La suma de un número entero más su inverso o simétrico es igual a cero.

a + (-a) = 0

Ejemplo:
  • 13 + (-13) = 0
  • 7 + (-7) = 0

Propiedades de la multiplicación de números enteros

Estos números enteros que vamos a utilizar en todo nuestro estudio tienen las siguientes propiedades generales en la multiplicación.

Cerradura

Si dos números enteros se multiplican, el resultado también debe ser otro número entero.

Algo parecido a la propiedad “Cerradura” de la suma.

Si a, b ϵ Z → a * b ϵ Z

Se lee: “Si dos números enteros cualquiera “a” y “b” están en el conjunto de los números enteros, su suma, también está en el conjunto de números enteros.

Ejemplos:
  • 3, 6 → 18 ϵ Z
  • 5 y 4 son números enteros, su producto 5 * 4 = 20, también es un numero entero.

Conmutativa

El orden de los factores de la multiplicación no altera el resultado.

De la misma forma que la propiedad conmutativa de la suma, también en la multiplicación, el orden en la que realices una multiplicación no altera el resultado.

a * b = b * a

Ejemplos:
  • 4 * 9 = 9 * 4
  • 5 * 10 = 10 * 5

Asociativa

Los factores de una multiplicación se pueden agrupar sin alterar el resultado de la suma.

De la misma forma que la propiedad asociativa de la suma, en la multiplicación también puedes agrupar los factores de diferentes formas, y el resultado es el mismo.

(a * b) * c = a * (b * c)

Ejemplos:
  • (3 * 2) * 8 = 3 * (2 * 8)
  • 5 * 7 * 4 * 2 = (7 * 2) * (5 * 4) = 14 * 20 = 280

Cuidado:

¡Cuidado con mezclar las propiedades asociativas de la suma y de la multiplicación! Checar la propiedad distributiva de la suma y la multiplicación

Neutro

Cualquier número multiplicado por la unidad (por el uno) es igual al mismo número.

a * 1 = a

Ejemplos:
  • 24 * 1 = 24
  • 5 * 1 = 5
  • 1 * 90 = 90

Inverso

Cualquier número entero multiplicado por su inverso es igual a la unidad.

También se puede decir que: Cualquier número dividido por él mismo es igual a uno.

a + (1/a) = 1

Ejemplos:
  • 13 * (1/13) = 1
  • 14 / 14 = 1
  • 7 * 1/7 = 1

Propiedad de la suma y la multiplicación de números enteros

Propiedad Distributiva

La multiplicación de un número entero por la suma de otros números enteros es igual a la suma de los productos del primero número entero por cada uno de los elementos de la suma.

a(b + c) = ab + ac

Ejemplos:

  • 3(2 + 4) = 3*2 + 3*4 = 6 + 12
  • (5 + 3) * 3 = (5*2) + (3*2) = 10 + 6 = 16

Resumen de las propiedades de los números enteros

Mas ejercicios, problemas y preguntas de simulación en nuestra guía desarrollada para el ingreso al bachillerato (COMIPEMS y UNAM):

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