Expresión común de problemas algebraicos de adición y sustracción

Antes de comenzar a realizar operaciones con expresiones algebraicas es necesario aprender a:

Ordenar los términos de una expresión algebraica
Reducir los términos semejantes de una expresión algebraica

Ordenar los términos de una expresión algebraica

Ordenar los términos de una expresión significa colocar sus términos en orden con respecto a su grado.

Es decir, tenemos que ordenarlos de mayor a menor, o de menor a mayor, según como necesitemos.

Ejemplos:

-5x⁴ + y⁵ – y + x²

Ordenando los términos, tenemos:

y⁵-5x⁴+ x² – y

Como observaras, los exponentes están ordenados de mayor a menor: 5, 4, 3, 2, 1.

y⁷ – 5x³ + y⁴ – 2

Ordenando los términos, tenemos:

y⁷ + y⁴ – 5x³ – 2

Como observaras, los exponentes están ordenados de mayor a menor: 7, 4, 3, 2, 0.

Reducir los términos semejantes de una expresión algebraica

La reducción de términos semejantes es la operación que consiste en sumar o restar términos semejantes, es decir, con la misma parte literal.

Para reducir términos semejantes simplemente se suman o se restan los coeficientes y la parte literal es la misma.

Ejemplos de reducción de términos semejantes:

x + 2x = (1+2) x = 3x
4x – 2x = (4-2) x = 2x
2x² + y + 2x² = (2+2)x² + y = 4x² + y
-5x²y³ +13x²y³ = 8x²y³
x + 2y -3x +5y – 2 = -2x +7y – 2

Reducción de términos semejantes agrupados por paréntesis

Para reducir términos semejantes que tienen agrupaciones con paréntesis, primero se eliminan los paréntesis y después se realiza la reducción de términos semejantes.

Ejemplos de reducción de términos semejantes agrupados en paréntesis:

x + (2y – 3x + 5y + x) = x +2y -3x + 5y + x = -x + 7y
x – (2y – 3x + 5y + x) = x -2y +3x -5y – x = 3x – 7y

Operaciones básicas con monomios

Monomio por monomio

Para multiplicar un monomio por otro monomio se siguen los siguientes pasos:

Se multiplican los coeficientes
Si existen literales comunes, se suman sus potencias y se conserva la literal.
Las literales que no son comunes se conservan como tal formando un solo término.

Ejemplos de monomio por monomio:

2xy * 2x = 4x¹⁺¹y = 4x²y
3x² * x = 3x²⁺¹ = 3x³
2x²y² * x³y² = 2x²⁺³y²⁺² = 2x⁵y⁴

Monomio entre monomio

Para dividir un monomio entre otro monomio se siguen los siguientes pasos:

1.- Se determina el signo del resultado utilizando las leyes de los signos:

Signos iguales = Positivo
Signos diferentes = Negativo

2.- Las literales comunes se les aplica las leyes de los exponentes:

3.- Las literales no comunes se les deja como están, ya sean en el numerador o denominador.

Ejemplos de monomio entre monomio:

Operaciones básicas con binomios y polinomios

Monomio por polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio se siguen los siguientes pasos:

Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
y por último se reducen términos semejantes si es que los hay.

Ejemplos de monomio por polinomio:

2xy * (2x + 3x) = 4x²y + 6x²y = 10x²y
3x²y * (2x + 3xy – 4) = 6x³y + 9x³y² – 12x²y

Polinomio por polinomio

Para multiplicar un polinomio por otro polinomio se siguen los siguientes pasos:

Se multiplica el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio.
Se multiplica el segundo término del primer polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y así sucesivamente hasta terminar con todos los términos del primer polinomio.
Por último, se reducen términos semejantes.

Ejemplos de polinomio por polinomio:

(2xy + 2x) * (2x + 3x²) = 4x²y + 6x²y + 4x² + 6x³ = 10x²y + 4x² + 6x³
(3x²y + x²y²) * (2x + 3xy – 4) = 6x³y + 9x³y² – 12x²y + 2x³y² + 3x³y³ – 2x²y² =11x³y² + 3x³y³ + 6x³y – 12x²y

Polinomio entre monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio se realiza la división de cada uno de los términos del polinomio entre el monomio y al final se reducen los términos semejantes si los hay.