Conceptos iniciales de la integral
Así como lo aprendimos en el tema anterior, La Derivada es una herramienta que nos ayuda a informarnos sobre la rapidez de cambio que tiene un proceso o una función en un instante o punto dado.
La integral o la integración es otra herramienta que nos ayudará, de manera general, a informarnos que tanto cambio en total un proceso o una función en un intervalo de valores.
Es decir, la integral nos ayudará a resolver problemas como:
- 1.- Si un objeto se mueve a una velocidad variable, ¿Cuál es el desplazamiento total de esto objeto al cabo de determinado tiempo transcurrido?
- 2.- Si intentamos llenar un garrafón de agua de 20 litros y la velocidad con que sale el agua es de 1 litro por segundo, necesitamos esperarnos 20 segundos para llenarlo. Pero si la velocidad con que sale el agua es variable ¿Cuánto tiempo necesitamos esperarnos?
- 3.- Si tenemos un cultivo de bacterias el cual tiene un crecimiento variable dado por una función, ¿Cuánto tiempo necesitamos esperar para que el cultivo duplique su tamaño?
- 4.- En física, cuando aplicamos una fuerza constante para realizar un desplazamiento, calculamos el trabajo realizado como W = F x D, pero si la fuerza que aplicamos varia porque nos cansamos y nos recuperamos, ¿Cómo calculamos el trabajo que realizamos?
APROXIMACIÓN INICIAL PARA RESOLVER PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN
Todos los problemas anteriores tienen una forma en común de resolverlos. Observa el siguiente ejemplo para saber cómo se llega a la necesidad de “integrar” una función y resolver problema de integración.
PROBLEMA A RESOLVER: Conocer cuanta distancia a recorrido un objeto móvil con velocidad variable.
PASO 1: Caso simple.
Si consideremos que el objeto tiene una velocidad constante, lo único que tenemos que hacer es multiplicar la velocidad por el tiempo transcurrido. (d = v t)
Si graficamos esta función tenemos:
Si le damos valores a nuestra función tenemos que: t1 = 4, t2 = 8 y vc = 30, la respuesta sería:
D = (8 – 4) (30) = 120
Nuestro objeto con velocidad de 30, habrá recorrido una distancia de 120 en el lapso del tiempo 4 al tiempo 8.
MUY IMPORTANTE
Observa que la solución, geométricamente es exactamente igual al “área bajo la curva”
Como recordaras, este es el caso sencillo, con velocidad contante. Lo interesante es determinar la distancia recorrida cuando la velocidad es variable. Como en la siguiente grafica.
¿Cómo calculamos el área bajo la curva de una función parecida a la anterior?
Procedimiento para calcular el área bajo una curva.
Si queremos saber el área de un rectángulo, solo multiplicamos su base x altura (b x h).
Pero también podemos dividir este rectángulo con líneas imaginarias, obtener el área de cada región y sumarlas.
Las áreas del rectángulo calculadas de estas dos maneras, serán iguales.
Como ya sabemos que dentro de un segmento hay una cantidad infinita de números reales”, entonces, el rectángulo anterior lo podemos dividir con rectángulos infinitamente pequeños y obtendremos una cantidad infinita de ellos.
“Y las áreas del rectángulo calculadas de estas tres maneras, serán iguales”
Pero serán iguales porque los lados de un rectángulo son rectos, pero si la figura tiene lados curvos, las formas anteriores en que calculamos el área darán diferente resultado.
Como se ve en la figura anterior, hay rectángulos que no consideran regiones que si están en el área de la figura (área bajo la curva).
Este problema se resuelve si dividimos nuestra figura en infinidad de rectángulos, (porque ya sabemos calcular áreas de rectángulos y es muy fácil (b x h)) y de ancho infinitamente pequeños.
Considera la figura anterior, que tiene infinidad de rectángulos y que son infinitamente pequeños de anchura. (la altura de cada uno de estos rectángulos, será dada por F(x).
Bueno, pues para obtener el área tal como hemos dividido a nuestro rectángulo utilizamos una sumatoria de rectángulos de ancho infinitivamente pequeño y la expresamos así:
Donde:
Δxi es el ancho del rectángulo
f(ci) es la altura del rectángulo
y a este límite de esta sumatoria la llamamos: la integral de f en [a, b].
Es decir:
