Tema especifico para el examen de admisión del Instituto Politécnico Nacional (IPN) 2025
En situaciones de incertidumbre, muchas veces queremos calcular la probabilidad de que ocurra un evento dado que ya tenemos cierta información adicional.
El Teorema de Bayes es una herramienta fundamental que permite actualizar probabilidades cuando se conoce nueva evidencia.
Ejemplo:
Si un estudiante presenta síntomas de gripe, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté enfermo, considerando que existe un porcentaje de falsos positivos en la prueba médica?
Este tipo de problemas se resuelve con el Teorema de Bayes.
Conceptos previos necesarios
Antes de definirlo, recordemos:
Probabilidad condicional:
Probabilidad total:
Si un evento A puede ocurrir por diferentes “caminos” B1, B2, B3, … Bn, entonces:
Enunciado del Teorema de Bayes
El teorema establece que:
donde:
Ejemplo
Una prueba médica detecta una enfermedad con:
- 98% de aciertos si la persona está enferma.
- 5% de falsos positivos (personas sanas que dan positivo).
- 1% de la población tiene la enfermedad.
Queremos calcular:
¿Cuál es la probabilidad de estar enfermo dado que la prueba salió positiva?
Solución:
Datos:
Probabilidad total de positivo:
Aplicando Bayes:
Resultado:
Aunque la prueba es muy precisa, la probabilidad real de estar enfermo con un resultado positivo es de solo 16.5%, debido a la baja frecuencia de la enfermedad.
Aplicaciones del Teorema de Bayes
- Medicina: Diagnósticos y resultados de pruebas.
- Machine Learning: Sistemas de clasificación (por ejemplo, filtro de spam en correos).
- Seguros y riesgos: Evaluación de siniestros.
- Criminalística: Probabilidades de culpabilidad basadas en evidencia.
Próximo tema como lo marca la guía oficial para el examen del IPN 2025:
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