Tema especial para el examen de la Universidad de Guadalajara (UdeG) 2025

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales que se deben resolver al mismo tiempo, es decir, encontrar los valores de las incógnitas que satisfagan todas las ecuaciones al mismo tiempo.

Estos sistemas son una herramienta fundamental en las matemáticas, ya que permiten modelar y resolver situaciones reales en las que intervienen varias condiciones o restricciones a la vez.

Por ejemplo, se usan para calcular el punto de encuentro de dos rectas, planear presupuestos, distribuir recursos o analizar fenómenos físicos y económicos.

Tipos de sistemas de ecuaciones lineales:

Sistema de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas
Sistema de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

Sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de ecuaciones de grado 1 y con las mismas dos incógnitas en las dos ecuaciones.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas representa un problema donde se busca encontrar el valor de dos cantidades que resuelven dos situaciones diferentes.

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de igualdades que tienen las mismas variables o incógnitas regularmente representadas por “x” y “y”, (elevadas a la potencia 1) y para las cuales existen unos valores para estas variables que resuelven a las dos ecuaciones.

Donde:

A, B, C, A₁, B₁ y C₁ son constantes llamados coeficientes.
“x” y “y” son las variables del sistema con exponente igual a 1

Ejemplos:

Métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

La resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es “encontrar el valor de las dos incógnitas que cuando se sustituyan en las dos ecuaciones satisfagan la igualdad”.

Para resolver este tipo de sistemas se tienen tres métodos principales:

Regla de Cramer o Método por determinantes
Método de reducción.
Método de sustitución.
Método de igualación.

Objetivo general de los 4 métodos:

El objetivo de los tres métodos es “convertir” nuestro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en “1 ecuación con 1 incógnita”.

Y para lograr esto, se puede hacer a través de diferentes operaciones que son los métodos.

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se pueden utilizar varios métodos. Sin embargo, antes de intentar resolverlas, debemos saber qué tipo de solución tiene el sistema.

TIPOS DE SOLUCIONES A UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede tener 3 tipos de soluciones:

1.- Una solución: Son los sistemas que solo tienen una solución y donde se tiene que encontrar el valor de “x” y de “y”. Es decir, solo un par de valores resolverá las dos ecuaciones

2.- Una infinidad de soluciones: Existen sistemas que tienen infinidad de soluciones cuando una ecuación del sistema se puede obtener por la multiplicación o división de un numero por la otra ecuación del sistema, entonces las dos ecuaciones son equivalentes.

3.- No tienen soluciones: Si A/A₁ = B/B₁ = k y C/C₁ es diferente de k

Regla de Cramer o por determinantes

Definición de un determinante

Un determinante es un arreglo especial de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales.

PARA RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR REGLA DE CRAMER O POR DETERMINANTES

Para obtener el valor de “x” dividimos el determinante de “x” entre el determinante del sistema.

Para obtener el valor de “y” dividimos el determinante de “y” entre el determinante del sistema.

El determinante de “x” se obtiene sustituyendo los coeficientes de la variable “x” por el coeficiente “c”

El determinante de “y” se obtiene sustituyendo los coeficientes de la variable “y” por el coeficiente “c”

El determinante del sistema se obtiene con los coeficientes de las variables “x” y “y”.

Ejemplos:

1.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Sustituimos los coeficientes en nuestros determinantes:

2.- Encontrar únicamente el valor de “y” del sistema:

Utilizamos solo el determinante para obtener “y”:

3.- Encontrar únicamente el valor de “x” del sistema:

Utilizamos solo el determinante de “x”:

Resuelve el determinante.

Método de reducción o de suma y resta

PROCEDIMIENTO:

1.- Eliminar una de las variables al sumar las dos ecuaciones y obtener una ecuación de primer grado con una variable

2.- Despejar esta variable y así obtener su valor.

3.- Después este valor se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones y se obtiene el valor de la otra variable.

Procedimiento del método de reducción:

Se acomodan las ecuaciones en forma vertical, de tal manera que la misma variable quede alineada.

Se suman o se restan los términos alineados verticalmente para que podamos eliminar alguna de nuestras incógnitas.

Si no se puede eliminar alguna variable, se multiplica alguna ecuación o las dos, para que haya un variable con el mismo coeficiente y de signo diferente, para que cuando sumemos se pueda eliminar esa variable.

El resultado de los pasos anteriores nos tiene que dar “una ecuación con una incógnita”.

Resolvemos esta última ecuación. (despejando la variable).

Después de tener el valor de una variable, la podemos sustituir en cualquier de las dos primeras ecuaciones de nuestro sistema para obtener el valor de la otra variable.

Ejemplo

Ejemplos:

1.- Encontrar el valor de las variables en el sistema:

Antes de sumarlas o restarlas, a la segunda ecuación se multiplica por 2 para que podamos eliminar un elemento de la primera ecuación:

De aquí obtenemos:

Este valor se sustituye en cualquier de las dos ecuaciones para obtener el otro valor:

Método de sustitución

En este método:

1.- Se elige una ecuación para despejar una de sus incógnitas
2.- Se sustituye en la otra ecuación, de esta manera se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita.
3.- En esta ecuación se despeja la incógnita y se obtiene su valor.
4.-Por último, este valor se sustituye en la otra ecuación y se obtiene el valor de la otra incógnita.

Procedimiento del método de sustitución:

Se acomodan las ecuaciones en forma vertical, de tal manera que la misma variable quede alineada.
Despejamos alguna de las dos variables en alguna de las dos ecuaciones. Es decir, una incógnita estará en términos de la otra.
Sustituimos esta variable despejada en la otra ecuación del sistema.
El resultado de los pasos anteriores nos tiene que dar “una ecuación con una incógnita”.
Reducimos términos semejantes.
Resolvemos esta última ecuación. (despejando la variable).
Después de tener el valor de una variable, la sustituimos en la ecuación que despejamos al principio para obtener el valor de la otra variable.

Ejemplo:

Ejemplos:

1.- Resuelve el siguiente sistema por sustitución:

De la primera ecuación despejamos x:

Y la sustituimos en la segunda ecuación:

Con este valor lo sustituimos en el despeje de x:

Con lo cual obtenemos las dos incógnitas:

Método de igualación

Procedimiento del método de igualación:

Se acomodan las ecuaciones en forma vertical, de tal manera que la misma variable quede alineada.

Despejamos alguna de las dos variables en las dos ecuaciones. Es decir, una incógnita estará en términos de la otra en las dos ecuaciones.

Igualamos estas dos ecuaciones, para obtener una ecuación de 1 incógnita.

Despejamos esta incógnita y obtenemos su valor.

Sustituimos el valor de esta incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales para obtener el valor de la otra variable.

Ejemplo:

Representación geométrica de un sistema de ecuaciones lineales

La representación geométrica de las ecuaciones nos ayuda a visualizar los valores que puede tener una ecuación y en un sistema de ecuaciones nos ayuda a visualizar la solución de este sistema.

En términos geométricos, cada ecuación representa una línea en el plano cartesiano.

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LOS TIPOS DE SOLUCIONES

1.-Si son líneas diferentes, en algún punto se cruzan y ese punto representa la solución al sistema de 2 ecuaciones (x, y)

Es decir: “los valores del punto se pueden sustituir en las ecuaciones y conservan la igualdad (la resuelven).

2.-Si son la misma línea, tendrán una infinidad de soluciones, ya que son ecuaciones semejantes.

Si una de las ecuaciones es resultado de multiplicar o dividir por un número a la otra, entonces ambas ecuaciones representan a la misma línea.

3.-Si son dos líneas diferentes pero paralelas, están no tendrán solución, ya que geométricamente no tienen un punto donde se intercepten.

Para saber si son rectas paralelas, se tienen que cumplir los dos criterios siguientes:

1.- La división de los coeficientes de x es iguala a la división de los coeficientes de y
2.- Y si la división de los coeficientes independientes es diferente.

Ejemplos:

1.-

2.- Determinar si

a) Se corta en (1,1)
b) Representan a la misma línea
c) Son rectas paralelas

Para verificar si se cortan en (1,1) se sustituye en las dos ecuaciones para ver si la resuelve:

Debido a que en la segunda ecuación No se conserva la igualdad, podemos decir que las líneas que representan estas ecuaciones no se cortan en el punto (1,1)

Para verificar si las dos ecuaciones representan la misma línea, tratamos de obtener una en términos de la otra multiplicada por un número, el 2 y obtenemos:

Como puedes ver, NO se pudo obtener de la primera, por lo que podemos decir que no representan a la misma línea,

Y por último para ver si son rectas diferentes pero paralelas verificamos i la división de los coeficientes de las variables x, y “y” son iguales y si la división de los coeficientes independientes es diferente.

Con esto podemos concluir que las rectas representadas por el sistema de ecuaciones propuesto son paralelas.

Después de haber conocido las posibilidades de solución y su representación geométrica, podemos utilizar alguno de los siguientes métodos para resolver el sistema.

Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: solución algebraica y gráfica

Nota: Este tema la solución algebraica puede ser cualquiera de los 3 métodos vistos en el tema anterior. Es este tema usaremos el método de despeje.

Para resolver una ecuación con 2 incógnitas podemos hacerlo por 2 tipos de soluciones:

La solución algebraica consiste en despejar una variable para que se exprese en términos de la otra (Método de Despeje).
La solución grafica consiste en graficar los puntos coordinados que nos de la ecuación, ya que una de las dos variables es considerada la variable independiente, que regularmente es la “x” y la otra es llamada la variable dependiente, que regularmente es la “y”.

Procedimiento para resolver algebraica y gráficamente las ecuaciones de 1er grado con 2 variables:

1.- Despeja la variable

Si es una ecuación de 1 variable, debes encontrar el valor numérico de la variable.

Si es una ecuación de 2 variables, te deben indicar la variable que debe quedar en términos de la otra, aunque por lo general, su las variables son “x” y “y”, la “y” debe quedar despejada.

Ejemplos:

y – x = 0
y + 5x = 0

Despejando cada una, tenemos:

y = x
y = -5x

Obtenemos varios puntos coordinados para trazar nuestra recta.

En nuestro segundo ejemplo, cada valor que le demos a nuestra “x”, la otra variable “y”, tendrá el mismo valor.

En nuestro último ejemplo, a cada valor que le demos a nuestra variable, lo multiplicamos por -5.

Graficar nuestros valores:

Trazar una línea recta que pase por los puntos identificados:

Sistema de tres ecuaciones lineales con 3 incógnitas

Métodos de solución (regla de Cramer)

Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tiene la forma siguiente:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones lineales se utiliza la Regla de Cramer o también llamado por determinantes:

Según la Regla de Cramer o por determinantes, la solución a este sistema está dada por:

Donde:

Δx es el determinante de x
Δy es el determinante de y
Δz es el determinante de z
Δ es el determinante del sistema.

Para obtener los valores de los determinantes existen 2 forma de realizar las operaciones en los arreglos:

1era forma: REGLA DE SARRUS: Extensión de coeficientes en los arreglos

2da forma: REGLA DE CRAMER: Operaciones triangulares en los arreglos

1ERA FORMA PARA RESOLVER DETERMINANTES: REGLA DE SARRUS: EXTENSIÓN DE COEFICIENTES EN LOS ARREGLOS.

1.- Los coeficientes se colocan de manera vertical según como están en el sistema de tres ecuaciones.

2.- Se repiten los dos primeros renglones del arreglo después de los 3 renglones correspondientes a las 3 ecuaciones.

3.- Para obtener el valor de una variable, se sustituyen sus coeficientes por los coeficientes “c” o los que no están relaciones a ninguna variable.

4.- El determinante del sistema es aquel en la que sus coeficientes son los coeficientes de las variables en cuestión. Es decir, en este determinante no se utilizan los coeficientes “c”.

5.- El resultado de las operaciones son: La suma de las multiplicaciones en diagonales ( \ ) menos la suma de las multiplicaciones en diagonales ( / ).

Gráficamente se realizan de la siguiente manera: