Tema especifico para el examen de admisión del Instituto Politécnico Nacional (IPN) 2025
La simetría es una propiedad fundamental de muchas figuras geométricas.
Un cuerpo sólido es simétrico cuando, al aplicar una transformación (giro, reflexión, traslación, etc.), conserva su forma y apariencia.
En el estudio de la geometría, las operaciones de simetría permiten identificar regularidades, simplificar cálculos y comprender mejor la estructura de los sólidos.
Tipos de simetría en sólidos
Los sólidos geométricos pueden presentar diferentes tipos de simetría. Las más comunes son:
a) Simetría axial o rotacional
- Ocurre cuando un sólido puede girar alrededor de un eje y quedar idéntico a su posición inicial.
- Ejemplo:
- Un cilindro tiene simetría infinita alrededor de su eje.
- Un cubo tiene simetría rotacional de 90°, 180° y 270° alrededor de ciertos ejes.
b) Simetría plana o de reflexión
- Se presenta cuando un sólido puede ser dividido en dos mitades iguales por un plano, de modo que una es el reflejo de la otra.
- Ejemplo:
- Una esfera tiene infinitos planos de simetría.
- Una pirámide cuadrangular tiene un plano de simetría que pasa por el vértice y el centro de la base.
c) Simetría central o de punto
- Se da cuando cada punto del sólido tiene un punto correspondiente al otro lado de un centro de simetría, a la misma distancia.
- Ejemplo:
- Un cubo y un prisma rectangular poseen simetría central en el punto medio de sus diagonales principales.
- Una esfera tiene simetría central en su centro.
Operaciones de simetría
Las operaciones de simetría son movimientos o transformaciones que aplicamos a un sólido y que no alteran su forma.
Reflexión (o reflexión especular)
- Se realiza respecto a un plano.
- El sólido se refleja como en un espejo.
- Ejemplo: un prisma rectangular respecto al plano que pasa por la mitad de su altura.
Rotación
- Se gira el sólido alrededor de un eje en cierto ángulo.
- El sólido coincide consigo mismo en posiciones determinadas.
- Ejemplo: un cubo gira 90° alrededor de un eje que pasa por el centro de sus caras.
Traslación (simetría de repetición)
- Aunque se aplica más en patrones espaciales, también se estudia en sólidos periódicos.
- Consiste en mover un cuerpo una cierta distancia en línea recta, manteniendo su forma.
- Ejemplo: cristales en estructuras moleculares.
Inversión o simetría central
- Cada punto del sólido se transforma en otro punto opuesto respecto al centro.
- Ejemplo: un octaedro regular.
Ejemplos en sólidos geométricos comunes
- Cubo
- 9 planos de simetría.
- Rotaciones de 90°, 180° y 270° en tres ejes.
- Simetría central en el punto medio del cubo.
- Esfera
- Infinitos planos de simetría.
- Simetría axial alrededor de cualquier diámetro.
- Simetría central en el centro.
- Cilindro
- Simetría axial infinita alrededor de su eje.
- Simetría plana en cualquier plano que pase por su eje.
- Simetría central en el centro.
- Pirámide de base cuadrada
- 4 planos de simetría que pasan por el vértice y los ejes de la base.
- Simetría rotacional de 90° alrededor del eje vertical.
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