Funciones lineales, cuadráticas y exponenciales

Tema especial para el examen de la Universidad de Guadalajara (UdeG) 2025

La función lineal f(x) = ax + b

La función lineal representa la función en la que sus valores dan como resultado lineal rectas en el plano cartesiano.
Representa todos los puntos (x, y)
Su dominio (todos los posibles x) son todos los números reales (-∞, ∞)
Y su rango es “y”, todos los valores resultantes de sustituir “x”.
La grafica de esta función es una línea recta “inclinada”, con cualquier inclinación según la función lo determine; como se muestra en la imagen:

Función cuadrática

La función cuadrática es una de las más importantes en el estudio del álgebra y la geometría analítica, pues describe situaciones de cambio no lineal, donde la variable dependiente crece o decrece de manera acelerada.

Su gráfica es una parábola, una curva simétrica con muchas aplicaciones en la física, la economía, la ingeniería y la vida cotidiana.

La forma general de una función cuadrática es:

Elementos de la función cuadrática

Coeficiente cuadrático (a): determina la apertura y orientación de la parábola.
Coeficiente lineal (b): influye en la inclinación y posición del vértice.
Término independiente (c): corresponde al punto donde la parábola corta el eje Y.

Ejemplo:

Representación gráfica de la función cuadrática

La gráfica de una ecuación cuadrática es una parábola en el plano cartesiano.

Valor de las constantes y características de la parábola

Utilizando el valor de las constantes, a, b, y c de la función cuadrática, podemos obtener una idea de la forma de la parábola. Utilizando los siguientes parámetros:

Orientación:

Si a > 0: la parábola abre hacia arriba.
Si a < 0: la parábola abre hacia abajo.

La función exponencial

La función exponencial es el conjunto de valores donde a cada valor que le vamos dando a “x”, el valor de “y” será igual a la constante elevada a la “x”.

La frase: “crece exponencialmente”, nos referimos a que conforme aumentamos “x”, la variable dependiente “y” va obteniendo valores más grandes cada vez.

Ejemplo:

En la función y = 2^x, le vamos dando valores a “x”: 1, 2, 3, 4…es decir, va creciendo de uno en uno; pero cuando obtenemos los valores de “y” tenemos: 2, 4, 8, 16…es decir, su crecimiento se va duplicando en cada valor.

Tipos de función exponencial

La función exponencial presenta dos casos especiales:

1.- Cuando a > 1
2.- Cuando 0 < a < 1

Cuando a > 1

La grafica de la función será creciente en todo su dominio

Cuando a < 1

La grafica de la función será decreciente en todo su dominio

DOMINIO: (-∞, ∞)

CODOMINIO: (0, ∞)

OJO

En todos los casos los valores de “y” serán positivos, es decir, su codominio será (0, ∞).

Ejemplos:

1.- En el crecimiento de las bacterias, algunas colonias de estas se duplican cada hora. Si comienzan con 1 bacteria y se duplica en cada hora, se tendrá 2^x bacterias después de “x horas”. Esto se expresa como:

F(x) = 2^x y tiene como desarrollo: