Inecuaciones lineales en una variable

Tema especial para el examen de la Universidad de Guadalajara (UdeG) 2025

Las desigualdades o también llamadas inecuaciones son las relaciones de comparación que existen entre dos expresiones algebraicas o numéricas.

Los signos que se ocupan son:

< menor que
> mayor que
>= mayor o igual que
<= menor o igual que

Inecuaciones de primer grado (lineales):

La variable aparece con exponente 1.

Ejemplo:

2x + 5 < 11

Principios para resolver inecuaciones

1.- Se pueden sumar o restar un mismo número a ambos lados sin cambiar el sentido de la desigualdad.

Ejemplo:

X – 3 < 7 ⟹ x < 10

2.- Se pueden multiplicar o dividir ambos lados por un número positivo sin cambiar el sentido.

Ejemplo:

2x < 8 ⟹ x < 4

3.- Si se multiplica o divide por un número negativo, se invierte el sentido de la desigualdad.

Ejemplo:

−3x > 9 ⟹ x < − 3

Procedimiento para resolver desigualdades

Para resolver desigualdades, es decir, para encontrar los valores para los cuales es cierta la desigualdad se aplican casi los mismos criterios que para resolver igualdades (despeje de la variable).

Las dos diferencias entre resolver igualdades y desigualdades son:

1.- Cuando una desigualdad se multiplica por un numero negativo, la desigualdad cambia de sentido.

Representación de soluciones

Los resultados generalmente no son un solo valor sino son un conjunto de valores los cuales se pueden representar como intervalos en la línea recta.

Recta numérica: se sombrean los valores que cumplen la inecuación.

Intervalos: se expresan los valores como (a,b), [a,b], (a,b] o [a,b).

La siguiente figura muestra las diferentes formas de representar las desigualdades:

Ejemplos:

1.- Encontrar las soluciones para la desigualdad:

Despejando la variable obtenemos:

Y este resultado se puede representar de 3 formas:

2.- El valor de la variable en la ecuación:

La multiplicamos por el mcm para eliminar denominadores:

Simplificamos y despejamos:

Despejamos la variable: Ojo, hemos modificado el sentido de la desigualdad porque multiplicamos por un numero negativo. (véase las propiedades de las desigualdades)