Tema especial para el examen de la Universidad de Guadalajara (UdeG) 2025
Las relaciones de cambio permiten analizar cómo varía una magnitud cuando otra cambia.
En la vida real, muchas situaciones pueden describirse mediante relaciones de cambio: la velocidad de un auto con respecto al tiempo, el crecimiento de una población con respecto a los años, o la variación de la temperatura a lo largo del día.
Concepto de relación de cambio
Cuando una variable depende de otra, el cambio en la primera se relaciona con el cambio en la segunda.
Si tenemos una función:
El cambio en y cuando x cambia de x1 a x2 se expresa como:
y el cambio en x es:
La relación entre estos cambios se conoce como razón de cambio:
Tipos de razones de cambio
Existen 2 tipos de razones de cambio:
- Razón de cambio promedio
- Razón de cambio instantáneo
Razón de cambio promedio
Mide cuánto varía, en promedio, la variable dependiente (y) cuando la variable independiente (x) cambia en un intervalo.
Ejemplo:
Un automóvil recorre una distancia según la función:
donde d es la distancia (en metros) y t el tiempo (en segundos).
Si medimos el intervalo de t = 2 a t = 4:
El auto avanza en promedio 30 metros por segundo en ese intervalo.
Razón de cambio instantánea
Cuando el intervalo de cambio se hace cada vez más pequeño, se obtiene el valor en un instante específico.
Esto se estudia con el cálculo diferencial y se llama derivada:
Ejemplo:
En el mismo caso del automóvil:
La velocidad instantánea es:
En t = 3:
Es decir, en ese momento exacto el auto va a 30 m/s, coincidiendo con la razón de cambio promedio encontrada en el intervalo anterior.
Próximo tema según la guía oficial para el examen de la Universidad de Guadalajara (UdeG) 2025:
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