Teoría de números: divisibilidad, factorización prima, múltiplos, máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Tema especial para el examen de la Universidad de Guadalajara (UdeG) 2025

¿Qué es la teoría de números?

La teoría de números es una rama de la matemática que estudia las propiedades y relaciones de los números enteros.

Los temas más destacados en la teoría de números son:

• La divisibilidad
• Los múltiplos
• Factorización
• El máximo común divisor
• El mínimo común múltiplo

La divisibilidad

Como ya sabrás, todos los números se pueden dividir entre otro número, y se pueden dar dos tipos de resultados.

1.- Que la división sea exacta, es decir, que no tengamos residuo

Por ejemplo:

• 10  2 = 5

2.- Que la división no sea exacta

Por ejemplo:

• 10  3 = 3 y sobra 1.

Con esto tenemos que: llamamos “divisibilidad” de un número, cuando lo dividimos entre otro número y su resultado no tiene residuo.

Ejemplo:

• Podemos decir que 12 es divisible entre 4 porque 12  4 = 3.

Tipos de números enteros según su divisibilidad

Con esta propiedad podemos clasificar a nuestros números enteros en 4 tipos principales:

Números pares

Son todos los números enteros que son divisibles entre dos.

Ejemplos:

• 2, 4, -2, -4, 6, -6…

Números impares

Son todos los números enteros que NO son divisibles entre dos.

Ejemplos:

• 3, 5, 7, 9, 11, 13…

Números primos

Son todos los números que solo tiene 2 divisores: Entre 1 y entre ellos mismos:

Ejemplos:

• 2, -2, 3, -3, 5, -5…

Números compuestos

Son todos los números que tienen más de dos divisores.

Ejemplos:

• 4, -4, 6, -6, 8, -8, 9, -9, 21, 25…

Múltiplos de números enteros

Los múltiplos de los números enteros son todos los números que son el resultado de multiplicar a un número por otros enteros.

Por ejemplo:

• Los múltiplos de 15 son (30, 45, 60, 70…)

• 15 * 2 = 30
• 15 * 3 = 45
• 15 * 4 = 60
• 15 * 5 = 75

Ya conociendo como factorizar y que son los múltiplos de un número, en muchas ocasiones tenemos la necesidad de comparar los factores o los múltiplos de varios números. A este tipo de comparación se le llama máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (mcm) respectivamente.

Factorización de números enteros

La factorización de un número es la expresión de este número en una multiplicación de otros números más pequeños.

Ejemplos:

• La factorización del número 12 puede ser:

• 12 = 4 * 3
• 12 = 2 * 2 * 3
• 12 = 2 * 6

Descomposición en factores primos (factorización en números primos)

Consiste en descomponer un número compuesto en un producto de números primos.

Este proceso es útil para resolver problemas de divisibilidad, MCD, MCM y fracciones.

Ejemplo:

Descomponer 36 en factores primos:

36 / 2 = 18

• 18 / 2 = 9
• 9 / 3 = 3
• 3 / 3 = 1

Entonces 36 = 2² x 3²

El Máximo Común Divisor (MCD)

El máximo común divisor es el número más grande de los divisores que tiene un conjunto de números.

Es decir, si tenemos un conjunto de números:

1. Cada uno de ellos dentro varios divisores.
2. De todos estos tenemos que escoger los que sean iguales (comunes).
3. De estos divisores comunes tenemos que escoger al mayor (el máximo).

Ejemplo:

El máximo común divisor de 18 y 24 es:

1. Los divisores de cada número son:

• De 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
• De 24: 1, 2, 3, 6, 8, 12, 24.

• De estos divisores, los comunes (que dividen al 18 y al 24) son: 1, 2, 3 y 6.

• Y por último, de estos divisores comunes se escoge al mayor, que es 6.

Y podemos decir que el MCD (18, 24) = 6

Método para obtener el Máximo Común Divisor (MCD)

Para obtener el máximo común divisor de un conjunto de números podemos usar el siguiente método para ahorrar todos los pasos anteriores.

1. Coloca los números en una casilla:

• Se obtiene un divisor común a los dos números y se anota del lado derecho este divisor y el cociente debajo de cada número, hasta que ya no tengan divisores comunes más que el uno.

• El máximo común divisor será la multiplicación de los divisores de la derecha.

MCD (18, 24) = 2 * 3 * 1 = 6

Ejemplo:

Encuentra el MCD de 12, 20 y 36.

1.  

•  

•  

El MCD (12, 20, 36) = 2 * 2 * 1 = 4

Nota:

Es muy importante saber obtener este número, el MCD, ya que se utiliza en diferentes operaciones más adelante.

Problema 1:

Si tenemos 15 peras, 25 manzanas y 30 melones y queremos dividir exactamente cada fruta en la misma cantidad de bolsas de cada fruta. ¿Cuántas bolsas tenemos que hacer y cuantas unidades debe tener cada bolsa de cada fruta?

Solución:

Obtenemos el MCD de 15, 25 y 30, ya que este será la cantidad de bolsas.

Tenemos que:

El MCD (15, 25, 30) = 5.

5 bolsas de cada fruta podemos hacer:

• 5 bolsas con 3 peras
• 5 bolsas con 5 manzanas
• 5 bolsas con 6 melones.

El mínimo común múltiplo (mcm)

El mínimo común múltiplo de un conjunto de números es el menor de los múltiplos que tienen en común este conjunto de números y se abrevia como mcm.

Es decir, de un conjunto de números:

• Se obtienen sus múltiplos comunes.
• De estos múltiplos, se elige al más pequeño o menor de ellos.
• Este número será el mínimo común múltiplo.

Ejemplo:

Encuentra el mcm de 4 y 6:

Al obtener los múltiplos de 4 y 6 se tiene:

• Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …
• Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, …

Los múltiplos comunes son: 12, 24, 36, 48, …

El menor de todos los múltiplos en común es 12

Por tanto, el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12

Para obtener el mínimo común múltiplo de un conjunto de número se realiza el siguiente procedimiento.

Método para obtener el mínimo común múltiplo

Para obtener el mínimo común múltiplo de un conjunto de números podemos usar el siguiente método, parecido al que usamos para obtener el máximo común divisor.

1. Coloca los números en una casilla:

• Se obtienen los divisores de cada número, “ya sea que divida a los números o que divida a alguno de ellos”.

• Se continúa dividiendo hasta que todos los números tengan residuo igual a 1.

• El mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los divisores de la derecha.

El mcm (6, 9) = 2 * 3 * 3 = 18

Ejemplo:

• Encuentra el mcm de 8, 12 y 20

1.-

2.-

3.- El mcm (8, 12, 20) = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 120

Problema 1:

3 corredores comienzan a entrenar al mismo tiempo en una pista de atletismo. Un corredor se detiene a tomar agua cada 3 vueltas, el otro corredor se detienen cada 5 vueltas y el ultimo corredor cada 6 vueltas. ¿En qué número de vuelta los tres corredores se detendrán al mismo tiempo a tomar agua?

Solución:

Para resolver este problema tenemos que encontrar el mcm de 3, 5 y 6.

El mcm (3,5,6) = 3 * 5 * 6 = 30

En la vuelta número 30 los tres corredores se detendrán al mismo tiempo para tomar agua.

Próximo tema según la guía oficial para el examen de la Universidad de Guadalajara (UdeG) 2025:

Algebra

Aquí puedes ver las guías de estudio desarrolladas para prepararte para el examen de la Universidad de Guadalajara (UdeG):