Series y sucesiones

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto ordenado de números que siguen una regla o patrón.

Cada número en la sucesión se llama término.

Se representan generalmente así:

🔹 Donde:

📌 Ejemplo:

Tipos de sucesiones

📈 a) Sucesión aritmética

Es aquella en la que cada término se obtiene sumando un mismo número (razón) al anterior.

🧮 Fórmula del término general:

Donde:

📌 Ejemplo:

📉 b) Sucesión geométrica

Cada término se obtiene multiplicando por un mismo número (razón) al término anterior.

🧮 Fórmula del término general:

Donde:

📌 Ejemplo:

¿Qué es una serie?

Una serie es la suma de los términos de una sucesión.

a) Serie aritmética

🧮 Fórmula de la suma de los primeros  𝑛 términos:

O también:

📌 Ejemplo:

Suma de los primeros 5 términos de la sucesión: 2, 4, 6, 8, 10

b) Serie geométrica (finita)

🧮 Fórmula de la suma de los primeros 𝑛 términos:

🧠 Diferencias clave entre series y sucesiones

Concepto	Sucesión	Serie
Definición	Lista ordenada de términos	Suma de los términos
Ejemplo	1, 2, 3, 4, 5…	1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Tipos comunes	Aritmética, geométrica	Aritmética, geométrica

✅ Resumen de series y sucesiones

• Una sucesión es un conjunto ordenado de números que siguen una regla.
• Una serie es la suma de los términos de una sucesión.
• Las sucesiones aritméticas usan sumas; las geométricas, multiplicaciones.
• Las fórmulas permiten encontrar términos y sumas sin tener que hacer todos los cálculos.

Profundizando en las sucesiones matemáticas

Una sucesión matemática es un conjunto de números que se van formando uno después del otro de acuerdo a alguna regla o ley matemática.

Es decir, se empieza con un número, y después a ese número se le agrega o se le quita una cantidad para que vaya creciendo o vaya disminuyendo.

Matemáticamente las sucesiones se representan por medio de: (x₁, x₂, x₃, x₄, … x_n).

Donde los subíndices 1, 2, 3, hasta n indican el lugar que ocupa un elemento en la sucesión.

POR EJEMPLO

• 1.- La sucesión numérica (1, 2, 3, 4, 5…) está formada por 5 números y más, donde el numero siguiente simplemente se le agrega o se le suma una unidad (+1).

• 2.- La sucesión numérica (3, 9, 27…) está formada por 3 números y más, donde el número siguiente se forma de la multiplicación por 3 del número anterior.

• 3.- La sucesión matemática (2, 4, 8, 32) está formada por 4 números, los cuales se generan la multiplicación de los números anteriores excepto el primero.

OTROS EJEMPLOS DE SUCESIONES

• 4.- 1, 2, 4, 8, 16, ….
• 5.- 3, 5, 7, 9, 11, …
• 6.- 4, 12, 36, 108, 324, ….

OJO

Los tres puntos al final de una sucesión indican que la sucesión tiene más elementos.

¿Cómo se resuelven preguntas de sucesiones matemáticas?

Como ya lo vimos, una sucesión matemática es un conjunto de números que se van construyendo uno después de otro, agregándole o quitándole una cantidad.

Para resolver una sucesión o para calcular el número siguiente de la sucesión, se requiere:

“Encontrar el número y el tipo de operación que se le aplica a cada elemento de la sucesión”

EJEMPLOS

• 1.- En la sucesión matemática (2,4,6,8,10, …) encontramos que se le va sumando el numero dos a cada elemento. Por lo tanto, para encontrar el siguiente elemento le sumamos 2 a 10 y obtenemos 12, y así sucesivamente.

• 2.- En la sucesión matemática (11, 8, 5, 2, -1, …) encontramos que el número que se le va “restando” a los elementos es 3.

CUIDADO

En los ejemplos anteriores, se le iba sumando o restando una cantidad a los elementos. Pero cuidado. También se les puede ir multiplicando, dividiendo, aplicando otra operación a los elementos para que vayan cambiando.

EJEMPLOS

• 3.- En la sucesión (2,4,8,16,32, …)  encontramos que a cada elemento se le va multiplicando por 2. Para encontrar el siguiente elemento solo multiplicamos 32 por 2 y obtenemos 64.

• 4.- En la sucesión (81, 27,9,3,1, 1/3, …) encontramos que a cada elemento se le fue multiplicando por 1/3 o también se le fue dividiendo entre 3. Para obtener un elemento más, solo necesitamos multiplicar 1/3 por 1/3 y obtenemos 1/9.

CUIDADO DE NUEVO

En los ejemplos anteriores, ya vimos que los elementos de una sucesión los podemos obtener, sumando, restando, dividiendo o multiplicando un número a cada elemento para obtener el siguiente.

Pero hay caso más complicado, que son pequeñas fórmulas que se les aplica a los elementos de la sucesión para obtener el siguiente elemento.

EJEMPLO

• 5.- En la sucesión (2, 7, 22, 67, 202, …) encontramos que a cada número se le aplica la operación 3x +1. Es decir, primero multiplicamos el elemento por 3 y después le sumamos un 1, para obtener el siguiente elemento.  Ya con la operación encontrada, calcula el siguiente elemento de la sucesión.

RECUERDA

Esta habilidad como todas las demás, solo se desarrolla con la práctica. Utiliza los ejercicios siguientes para desarrollar tu habilidad

Ejemplos y ejercicios de sucesiones matemáticas

EJEMPLOS

1.- Determina el siguiente elemento de la sucesión: 2, 6, 18, 54, …

a) 128          b) 144          c)152           d)162

Observa la sucesión y determina que le va pasando a los elementos.  Los elementos se van multiplicando por 3 cada uno, por lo que el siguiente elemento seria 54 x 3 = 162

2.- Determina el siguiente elemento de la sucesión: 1, 4, 9, 16, …

a) 21            b) 25            c) 24            d) 26

Si observamos con detenimiento, los primeros términos van “aumentando” así; 3, 5 y 7. Por lo que se ve que a cada elemento se le va sumando un número impar. Por lo tanto, el elemento siguiente seria 16 + 9 = 25

3.- Determina el siguiente elemento de la sucesión: 1, 5, 13, 29, …

a)59             b)61            c)63             d)71

Primero debemos determinar la forma como van cambiando los elementos de la sucesión. Si observamos con detenimiento, vemos que los elementos van incrementando de la forma 2x + 3. Es decir, a cada elemento primero se le multiplica por 2 y después se le suma 3 unidades. Por lo que, el elemento siguiente de la sucesión es 2(29) + 3 = 61

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