Definición de ecuación

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas llamadas miembros.

Como recordaras, estas expresiones algebraicas pueden contener números fijos llamados constantes y cantidades variables llamadas variables o literales.

Tipos de ecuaciones

La ecuaciones se pueden clasificar por la cantidad de variables:

  1. Ecuaciones con 1 variable
  2. Ecuaciones con 2 variables
  3. Ecuaciones con 3 o más variables

O por el grado máximo de alguno de sus términos.

  1. Ecuaciones de 1er grado
  2. Ecuaciones de 2do grado
  3. Ecuaciones de 3er o mayor grado

Las ecuaciones pueden ser de 1 variable y de 1er grado, 2do grado o cualquier otro grado, o pueden ser de 2 variables y ser de 1er grado, de 2do grado o cualquier otro grado.

Ejemplos:

Ecuaciones de 1 variable de 1er grado

  • 2x =10
  • x + 2 = 20

Ecuaciones de 1 variable y de 2do grado

  • x2 + 5 = 100
  • 2x2 = 50

Ecuaciones de 2 variables de 1er grado

  • x + y = 45
  • xy + 3 = 10

Ecuaciones de 2 variables y de 2do grado

  • x2 + y = 80
  • x2 – y2 = 1
  • x2y – 10 = 2

Ecuaciones de más de 3 variables y distintos grados

  • 2x3 + xy + 5 = 0
  • xy4 + 5y3 + 3y = 10
  • 2x3y2 + yz2 + z5 = 55
Ojo:

Cada tipo de ecuación se resuelve de diferente manera, en los siguientes capítulos se estudiaran los marcados en la guía oficial.

Ecuaciones de primer grado

La ecuaciones de primer grado son ecuaciones donde el máximo exponente de las variables que tiene es 1.

También podemos decir que las ecuaciones de primer grado son igualdades entre expresiones algebraicas de grado uno, es decir, el mayor exponente de cualquier variable es uno.

Tipos de ecuaciones de primer grado:

  • Ecuaciones de 1 variable de 1er grado
  • Ecuaciones de 2 variables de 1er grado
  • Ecuaciones de 3 o más variables de 1er grado
Ejemplos de ecuaciones de primer grado:
  • 2x = 30

Recuerda que, si no tiene exponente, se sobreentiende que es 1.

Como te darás cuenta, aunque algunas expresiones algebraicas tengas varias variables, todas ellas tienen un exponente igual a 1.

Ojo:

En general, solo se estudian con detalle las ecuaciones de 1er grado que tienen 1 o dos variables como veremos más adelante.

Resolución de ecuaciones de primer grado (método algebraico)

Resolver una ecuación

Resolver ecuaciones de primer grado de 1 o 2 variables significa:

  • Encontrar el valor numérico de la variable en una ecuación de 1 variable
  • Expresar el valor de una variable en términos de la otra en ecuaciones de 2 variables

Otra forma de expresar que vamos a resolver una ecuación es que vamos a “despejar la variable”.

Ejemplos:
  • 2x + 5 = 15

Tenemos que x = 5, porque 2(5) + 5 = 10 + 5 = 15.

  • 2x + y = 3

Resolvemos la ecuación para la variable y:

Y tenemos que y = 3 – 2x

Despeje de variables

El despeje de variables es encontrar el valor de una variable, es decir, “dejar solita la variable de un lado de la ecuación”.

Método para despejar variables en una ecuación de primer grado

Para despejar variables de una ecuación se siguen las siguientes reglas generales:

1.- Por convención y para una mejor visualización del problema, expresa la ecuación de tal manera que la variable que quieras despejar esté del lado izquierdo.

Ejemplo:
  • 12 = 3x + 3

Tenemos:

3x + 3 = 12

Recuerda que puedes cambiar el orden de los miembros de una ecuación.

2.- Identifica que operación es “la más externa” del miembro donde vas a despejar.

Ejemplos:
  • 3x + 3: la operación más externa es +3.
  • 2(3x + 3): la operación más externa es 2( ).

3.- Después de identificar la operación más externa, pásala del otro lado de la ecuación con la operación inversa: Es decir; si está sumando, pasa restando, si está restando pasa sumando, si está multiplicando pasa dividiendo, y si está dividiendo, pasa multiplicando.

Ejemplos:
  • 3x + 3 = 12

El +3 está sumando, pasa restando del otro lado.

el dos está multiplicando, pasa dividendo del otro lado

4.- Continúa despejando hasta que la variable quede solita del lado izquierdo.

Ejemplos:
  • 3x + 3 = 12

El +3 está sumando, pasa restando del otro lado.

3x = 12 – 3

El 3( ) está multiplicando, pasa dividendo del otro lado.

  • 2(3x + 3) = 24

el dos está multiplicando, pasa dividendo del otro lado

El tres es la operación más externa y está sumando, entonces pasa restando del otro lado.

El otro 3 está multiplicando a nuestra variable, pasa dividiendo del otro lado.

Ecuaciones de primer grado: solución gráfica

Ahora que ya conoces bien las ecuaciones de primer grado como las estudiamos en los capítulos anteriores, debes conocer que:

“Las ecuaciones de primer grado pueden ser representadas gráficamente”.

Es decir, si ocupamos el plano cartesiano con sus dos ejes, podemos trazar una línea recta con los valores que nos puede dar una ecuación de primer grado.

Tipos de soluciones graficas en las ecuaciones de primer grado

Las soluciones graficas se pueden agrupar según el tipo de ecuación.

  1. Las ecuaciones de 1er grado con 1 variable siempre son líneas horizontales al eje “x”.
  2. Las ecuaciones de 1er grado con 2 variables son líneas rectas con algún tipo de inclinación y que atraviesan al eje “x” en algún punto.

Procedimiento para resolver gráficamente las ecuaciones de 1er grado:

1.- Despeja la variable

          Si es una ecuación de 1 variable, debes encontrar el valor numérico de la variable.

          Si es una ecuación de 2 variables, te deben indicar la variable que debe quedar en términos de la otra, aunque por lo general, su las variables son “x” y “y”, la “y” debe quedar despejada.

Ejemplos:
  • x – 5 = 0
  • y – x = 0
  • y + 5x = 0
Despejando cada una, tenemos:
  • x = 5
  • y = x
  • y = -5x

Obtenemos varios puntos coordinados para trazar nuestra recta.

En nuestra primera ecuación, tenemos que para cualquier valor que le demos a nuestra “x”, siempre será igual a 5: Entonces tenemos que:

En nuestro segundo ejemplo, cada valor que le demos a nuestra “x”, la otra variable “y”, tendrá el mismo valor.

En nuestro último ejemplo, a cada valor que le demos a nuestra variable, lo multiplicamos por -5.

Graficar nuestros valores

Trazar una línea recta que pase por los puntos identificados

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Solución de desigualdades o inecuaciones

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