Razones, proporciones y porcentajes

Razones

¿Qué es una razón?

Una razón es una comparación entre dos cantidades que muestran cuántas veces una contiene a la otra.

Se expresa como una fracción o con el símbolo “:”.

📌 Ejemplo:

Si hay 8 mujeres y 4 hombres en un grupo, la razón entre mujeres y hombres es:

8/4 = 2 o también 8:4

📌 Las razones pueden ser:

• Parte a parte: 8 mujeres : 4 hombres
• Parte a todo: 8 mujeres : 12 personas

Proporciones

¿Qué es una proporción?

Una proporción es una igualdad entre dos razones.

Sirve para comparar situaciones equivalentes.

📌 Ejemplo:

Si 2 lápices cuestan $10, entonces 4 lápices deben costar $20.

Ambas fracciones son equivalentes, por lo tanto, la proporción es verdadera.

🧠 Propiedad fundamental de las proporciones:

Porcentajes

¿Qué es un porcentaje?

• Un porcentaje es una razón comparada con 100.
• El símbolo % significa “por cada 100”.

📌 Ejemplo:

Si 20 alumnos de un grupo de 50 aprobaron, ¿qué porcentaje es?

Resumen

• Una razón compara dos cantidades.
• Una proporción es una igualdad de razones.
• Un porcentaje es una razón comparada con 100.

Profundizando con razones y proporciones

Una relación de proporcionalidad es una comparación entre dos cantidades.

Existen 2 tipos de relaciones de proporcionalidad:

• La razón
• La proporción

La razón o razón de proporcionalidad

La razón es la comparación entre dos cantidades a través de una fracción o a través del uso de los dos puntos.

Nota:

A la razón expresada en fracción, también se le llama antecedente al numerado y consecuente al denominador.

Ejemplo 1:

En un salón de clases hay 15 niñas y 20 niños. La razón que hay entre estas cantidades es:

 o también lo podemos expresar como 15:20. (15 a 20).

Lo podemos leer diciendo que, en ese salón, por cada 15 niñas hay 20 niños.

Simplificando nuestra fracción tenemos que 15/20 es igual a ¾ y también podemos decir que:

Por cada 3 niñas hay cuatro niños.

La proporción

La proporción es una igualdad entre dos razones.

Ejemplo:

También podemos expresar esta comparación con los dos puntos:

3:4 = 9:12

Recuerda

Recuerda que una fracción es equivalente a otra si el producto cruzado es igual o si una fracción es resultado de haber multiplicado por el mismo número el numerador y el denominar de la otra fracción.

Usos de las proporciones

Las proporciones nos ayudan cuando queremos aumentar el valor de algún elemento, pero queremos que se conserve la razón que tiene con el otro elemento.

Uso de las proporciones:

Ejemplo:

Si sabemos que en un vaso lo podemos endulzar correctamente con dos cucharadas de azúcar y ahora queremos endulzar una jarra de agua con capacidad de 10 vasos y que quede con el mismo endulzado que el vaso.

¿cuántas cucharadas de azúcar tenemos que echarle a la jarra?

Lo podemos expresar como:

 por cada vaso le ponemos 2 cucharadas de azúcar. Si queremos endulzar una jarra con capacidad de 10 vasos y que quede con la misma proporción de azúcar que tiene el vaso, lo expresamos:

En este ejemplo, sabemos que multiplicamos al 1 por el 10 y para que tengamos una fracción equivalente del otro lado, tenemos también que multiplicar al 2 por el 10, así que:

Conclusión:

Para endulzar nuestra jarra de agua de la misma manera que el vaso, tenemos que agregarle 20 cucharadas de azuzar. Porque a 1 vaso solo le agregamos 2.

Tipos de proporciones

Existen 2 tipos de proporciones, que en general podemos expresar de la siguiente forma.

Proporción directa

La proporción directa es cuando una cantidad aumenta, la otra aumenta y si disminuye la otra también disminuye, en este caso decimos que una cantidad es “directamente proporcional a la otra”.

Por ejemplo:

Entre más tortas compras, más tienes que pagar.

Entre menos tortas, menos pagas.

(ojo: no consideres si te hacen descuento).

Y decimos que el número de tortas es directamente proporcional a la cantidad que tenemos que pagar.

Para expresar la proporción directa se realiza por medio de la igualdad de 2 fracciones:

Es decir:

Por 5 tortas tengo que pagar 50 pesos.

Por 10 tortas, ¿Cuánto tengo que pagar?

Para saber cuánto tengo que pagar por las 10 tortas; se multiplica el 10 por el 50 y luego se divide entre el 5.

Tenemos que:  ? = (10*50) / 5 = 100.

Por las 10 tortas tenemos que pagar 100 pesos.

Ojo:

Esto es lo mismo que calcular el valor de cada torta (que seria 10 pesos) y luego multiplícalo por las 10 tortas (10 * 10 = 100).

Proporción inversa

La proporción inversa es cuando una cantidad aumenta la otra disminuye y viceversa y cuando pasa esto, decimos que una cantidad es inversamente proporcional a la otra.

Por ejemplo:

Entre más personas hacen la limpieza de tu casa, menos tiempo les toma acabar.

Entre menos personas ayudan, más tiempo les toma terminar la limpieza.

Y podemos decir que, el número de personas es inversamente proporcional al tiempo necesario para hacer la limpieza.

Para expresar la proporción directa se realiza por medio de la igualdad de 2 multiplicaciones:

Es decir:

Para limpiar nuestra casa, contamos con 3 personas y lo haríamos en 2 horas.

Si nos ayudan otras 3 personas, ¿en cuánto tiempo lo haríamos?

3 * 2 = 6 * ?

Para resolver esta proporción inversa, multiplicamos 3 por 2 y luego lo dividimos entre 6.

(3 * 2) / 6 = 6/6 = 1

Y concluimos que, con 6 personas, podemos hacer la limpieza de nuestra casa en 1 hora.

Problemas con razones y proporciones

Problema 1:

Si en una unidad habitacional viven 1,500 personas y se tienen 50 edificios, ¿cuál es la razón que se tiene por cada edificio?

Realizando la división tenemos que 1500 entre 50 es igual a 30:

Es decir, por cada edificio hay 30 personas.

Problema 2:

En una ciudad de 10,000 personas tenemos a 1,000 enfermas de gripa. ¿Qué razon hay entre la población y el número de enfermos de gripa?

Realizando la división tenemos que es igual a 10.

Es decir, por cada 10 personas tenemos a 1 enfermo.

Profundizando con los porcentajes

Los porcentajes son la forma en la que se expresan partes de un entero dividido en 100 partes utilizando el signo %.

Es decir:

La mitad de tu torta ya sabemos que la podemos representar por medio de fracciones y sería ½. Pero si la dividimos en 100 partes iguales y tomamos 50 de esas partes, podemos decir que la mitad la torta representa el 50 por ciento (50%).

Así que, para expresar una parte de un entero, primero tenemos que dividirlo entre 100 y luego expresar las partes que tomamos utilizando el signo %.

Ojo:

En muchas ocasiones el entero no es 1, ni múltiplo de 10. El entero puede valer 2, 7 o cualquier número.

Ejemplo:

• Tenemos una jarra con 800 ml de agua de Jamaica y queremos solo el 50% de la jarra.

Para esto dividimos nuestro “entero”, (que son los 800 ml de agua) entre 100 y es igual a 8.

Luego multiplicamos por las 50 partes que tomamos: 8 x 50 = 400.

Por lo tanto, el 50% de nuestra jarra de 800 ml es 400 ml.

Equivalencias entre porcentajes y fracciones

Las equivalencias más comunes son:

• 10% = 1/10
• 20% = 1/5
• 25% = ¼
• 50% = ½
• 100% = 1

Convertir porcentajes en fracciones

Para convertir porcentajes en fracciones:

1. El porcentaje se divide entre 100.
2. Se simplifica la fracción

Ejemplos:

• Convierte 35% en fracción:

• Convierte 75% en fracción:

Convertir fracciones en porcentajes

Para convertir fracciones en porcentajes:

1.- Multiplicamos la fracción por 100.

2.- Realizamos la división.

3.- Al resultado se le agrega el signo de porcentaje.

Ejemplos:

• Convierte 1/20 en porcentaje:

• Convierte 2/3 en porcentaje:

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