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Las razones trigonométricas

Las razones trigonométricas son aquellas relaciones que tienen los lados de un triángulo rectángulo.

Estas razones trigonométricas se aplican solo a los ángulos agudos del triángulo rectángulo, es decir a los ángulos menores de 90.

Así que las razones trigonométricas que podemos obtener en un triángulo rectángulo son:

Valor numérico de las razones trigonométricas

  1. Se localizan cuáles son los catetos adyacente y opuesto, según el ángulo señalado.
  2. Se sustituye el valor de los lados correspondientes en la razón trigonométrica
Ejemplos:

1.- ¿Cuál es el coseno del Angulo B del triángulo siguiente?

Primero determinamos cuales son los catetos (opuesto y adyacente)

Después sustituimos en la razón trigonométrica correspondiente:

El valor de las razones trigonométricas de los ángulos más comunes

En la siguiente tabla se muestran los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos más comunes para resolver problemas.

Mas ejercicios, problemas y preguntas de simulación en nuestra guía desarrollada para el ingreso al bachillerato (COMIPEMS y UNAM):

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El Teorema de Pitágoras

El triángulo rectángulo

El triángulo rectángulo es el triángulo que tiene un ángulo interno igual a 90 grados.

En este triángulo los lados que forman el ángulo recto se llaman “catetos” y el lado que se opone a dicho ángulo se llama “hipotenusa”.

Como se ve en la siguiente figura:

El teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es una propiedad que tienen los triángulos rectángulos, y establece que el cuadrado de su hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.

Con esta fórmula del teorema de Pitágoras podemos obtener el valor de cualquier lado de un triángulo rectángulo siempre y cuando tengamos el valor de 2 de ellos, simplemente despejando el lado desconocido.

Ejemplos:

1.- Encuentra el valor de lado “x” en el siguiente triangulo:

          Aplicando el Teorema de Pitágoras obtenemos:

          Y despejando nuestra incógnita obtenemos:

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Semejanza de triángulos o triángulos semejantes

La semejanza de los triangulo es la propiedad que tienen de tener la misma forma, pero diferente tamaño. Y cuando dos triángulos cumplen esta propiedad se dice que son triángulos semejantes y se utiliza el símbolo “~”.

De manera más formal, se dice que dos triángulos son semejantes cuando tienen todos sus ángulos iguales, uno a uno y sus lados son proporcionales.

Los triángulos son proporcionales si:

Ejemplo:

Determina el valor de “x” si los dos triangulo son semejantes:

Solución:

Aplicando nuestra formula:

Sustituyendo:

Despejando:

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Teoremas fundamentales de los triángulos

  • 1.- En todo triangulo, la suma de los ángulos internos es igual a 1800.

<A + <B + <C = 1800

  • 2.- En todo triangulo, un ángulo exterior es igual a a la suma de los dos ángulos no adyacentes a él.

<A + <C = β

  • 3.- En todo triangulo, la suma de sus ángulos externos es igual a 3600.

<α + <β + <ϴ = 1800

  • 4.- En todo triangulo el lado mayor está del lado opuesto al ángulo mayor.
  • 5.- En todo triangulo el lado menor está del lado opuesto al ángulo menor.
  • 6.- En todo triangulo, la suma de dos de sus lados es siempre mayor que el tercero.

a +b > c; a + c > b; b + c > a

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Área y perímetro de triángulos

Perímetro del triángulo

Para calcular el perímetro del triángulo se utiliza la formula:

Es decir, para calcular el perímetro de un triángulo se tienen que sumar los valores de los lados del triángulo.

Si se trata de un triangulo equilátero, también se puede decir que el perímetro es igual a 3L porque todos sus lados son iguales.

Ejemplo:
  1. Determina el perímetro del triángulo que tiene como base 2 metros y sus otros dos lados miden 3 metros.

Utilizamos nuestra formula:

Sustituimos valores:

Respuesta:

El perímetro de un triángulo con base de 2 metros y sus otros lados de 3 metros es igual a 8 metros.

Área del triángulo

Para calcular el área del triángulo se utiliza la formula:

Nota:

Para que se te olvide la formula, recuerda que dos triángulos unidos pueden formar un cuadrilátero, y para obtener el área del cuadrilátero es b * h.

Ejemplo:
  1. Determina el área del triángulo que tiene como base 2 metros y altura de 3 metros

Utilizamos nuestra formula:

Sustituimos valores:

Respuesta:

El área de un triángulo con base de 2 metros y altura de 3 metros es igual a 3 metros cuadrados.

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La clasificación de los triángulos

Los triángulos se clasifican de dos formas:

  • Por sus lados
  • Por sus ángulos

Clasificación de los triángulos por sus lados:

Triángulos equiláteros:

Son los triángulos que tienen sus tres lados iguales

Triángulos isósceles:

Son los que tienen dos lados iguales.

Triángulos escalenos:

Son los que tienen sus tres lados diferentes.

Clasificación de los triángulos por sus ángulos:

Triángulos acutángulos:

Son los triángulos que tienen sus tres ángulos internos agudos, es decir, menor a 900.

Triángulos rectángulos:

Son los triángulos que tienen un ángulo recto o igual a 900.

Triángulos obtusángulos:

Son los triángulos que tienen un ángulo obtuso, es decir, mayor a 900.

Rectas notables en los triángulos

Bisectriz

La bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo interno en dos partes iguales.

Mediatriz

La mediatriz es la recta que pasa por el punto medio de un lado de un triángulo y que es perpendicular a ese mismo lado.

Altura

Es el segmento de recta perpendicular trazado desde un vértice del triángulo hacia el lado opuesto.

Mediana

La mediana es el segmento de recta que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.

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Conceptos iniciales de triángulos

Definición de triángulo

El triángulo es el polígono conformado por tres lados y tres ángulos.

Los elementos del triángulo son: lados, vértices y ángulos. Y se representan de la siguiente forma:

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Problemas y ejercicios de círculos (circunferencia y superficie)

  • 1.- La rueda de la fortuna del parque de diversiones tiene un diámetro de 40 metros, determina la distancia que recorrerás cuando te subas a ella, considerando que sales y regresas en el mismo punto.

¿Qué es lo que se te pide?

Calcular la distancia recorrida. Si estas en un rueda de la fortuna, la distancia recorrida será la circunferencia de la rueda.

¿Cuál es la fórmula de la circunferencia?

Donde r = radio de la rueda.

¿Qué datos nos proporcionaron?

Diámetro de la rueda = 40 metros

¿Qué podemos hacer con estos datos?

Podemos obtener el radio. Radio es la mitad del diámetro.

Por lo que, r = 20 metros

Resolvemos la ecuación:

Respuesta:

Si consideramos a π = 3.14 tenemos que la circunferencia de la rueda es125.5 metros.

  • 2.- Dentro de un círculo hay otros dos círculos más pequeños y alineados. Determina el área pintada.

¿Qué es lo que se te pide?

Calcular el área del círculo grande menos el área de los dos círculos internos.

¿Cómo lo vamos a resolver?

Primero tenemos que calcular el área del círculo grande, después las áreas de los círculos internos y después restar estas áreas.

¿Cuál es la fórmula del área de un círculo?

¿Qué datos nos proporcionaron?

El radio de los dos círculos internos

Indirectamente el diámetro de los círculos externos

¿Qué podemos hacer con estos datos?

  • Obtener el área de los círculos internos
  • Obtener el radio del círculo grande y después el área del círculo grande.

Radio del círculo grande es igual a la suma de los diámetros de los círculos internos entre 2 = 20 + 12 / 2 = 16

Área del círculo grande 803 menos la suma de las dos áreas de los círculos internos: 427

Respuesta:

Si consideramos a π = 3.14 el área pintada es igual a 376 cm cuadrados

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Área y circunferencia del círculo (formulas)

Circunferencia del circulo

Para calcular la Circunferencia del círculo se utiliza la formula:

Nota muy importante:

Esta fórmula se obtiene del conocimiento de que en la circunferencia de cualquier circulo cabe exactamente π diámetros. Es decir 3.1415… veces el diámetro.

Si usas la formula con el radio, seria 2r, porque el diámetro es igual a 2 veces el radio.

Ejemplo:
  1. Determina la circunferencia del círculo que tiene un diámetro de 5 metros.

Utilizamos nuestra formula:

Sustituimos valores:

Respuesta:

  • La circunferencia de un círculo con diámetro de 5 metros es igual a: 15.7 metros.
  • Es decir, si tienes una rueda con un diámetro de 5 metros y la haces rodar, en un vuelta avanzará 15.7 metros.

Área del circulo

Para calcular el Área del círculo se utiliza la formula:

Ejemplo:

Calcula el área de un círculo que tiene de radio 2.5 metros.

Utilizamos nuestra formula:

Sustituimos valores:

Respuesta:

El área de nuestro circulo con radio de 2.5 metros es igual a 19.62 metros cuadrados.

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Conceptos iniciales de círculos

El circulo es el conjunto de puntos que tienen la misma distancia a un punto llamado centro.

Generalmente al contorno del círculo se le llama circunferencia y el área que limita este contorno “área del círculo”.

Elementos de la circunferencia

Los elementos de una circunferencia son:

  1. Radio: Es la distancia entre todos los puntos de la circunferencia y el centro.
  • Diámetro: Es la recta que une dos puntos distintos de la circunferencia y que pasa por su centro
  • Arco: Es un segmento de la circunferencia
  • Cuerda: Es la línea que une dos puntos de la circunferencia sin tener que pasar por su centro
  • Sector: Es la parte de la interna de la circunferencia que une dos puntos distintos de ella y su centro
  • Tangente: Es la línea recta que toca en un solo punto a la circunferencia
  • Secante: Es la línea recta que corta a la circunferencia en dos de sus puntos
Nota:

En los próximos capítulos se estudia el cálculo del área y la circunferencia del círculo como lo marca la guía de la universidad.

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