Límites

CONCEPTO INTUITIVO

Como ya sabemos, a toda función matemática le vamos dando valores “x” y dependiendo de la función, nos devuelve otros valores (y).

Y regularmente vamos incrementando estos valores de “x” para observar todo el comportamiento de una función.

Sin embargo, existen casos que lo que nos interesa es conocer cómo se comporta una función alrededor de un valor “x”.

En este caso, cuando f(x) = x + 1:

1.- ¿Hacia qué valor se dirige “y” cuando “x” se dirige a 2? Es decir: ¿Cómo se comporta la función alrededor del valor 2?

Respuesta: La función f(x) se acerca a 3, cuando x se acerca a 2.

Lo cual también podríamos decir:

“El límite de la función f(x) tiende a 3 cuando “x” tiende a 2”

Y podemos expresar:

CONCLUSIÓN:

Podemos decir que, si en una función entre más nos acercamos a un valor x₀, más nos acercamos a un valor y₀, esta función tiene límite en ese valor x₀.

DEFINICIÓN FORMAL

DEFINICIÓN FORMAL DE LIMITE

El límite de una función f(x), cuando x tiende a x₀ es igual a L, “si y solo si para todo número real positivo Ɛ, existe otro real positivo δ, tal que, para todos los valores de x distintos de x₀ que cumplen la condición |x – x₀| < δ se cumple |f(x) – L| < Ɛ

En términos muy simples y generales, quiere decir, que existe un límite en una función, si existen valores “x” tan cercanos a x₀ que tengan sus imágenes f(x) o valores “y” tan cercanos al límite (L).

Es decir, que como nos vayamos acercando a x_0, también nos tenemos que ir acercando a L, pues si no nos acercarnos a L, conforme nos acercarnos a x₀, entonces no existiría el límite en esa función.

Como en la definición se mencionó, valores absolutos, (|x – x₀| < δ se cumple |f(x) – L| < Ɛ) esto significa que los valores existen tan cerca del lado izquierdo como del lado derecho.

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